Граничные задачи уравнения Лапласа для стержня и полоски

[lllusion]

Передо мной поставили задачу рассчитать электростатические поля, порождаемые бесконечным стержнем или бесконечной полоской, с помощью метода конечных элементов. Значит, мне достаточно составить 2-мерные граничные задачи уравнения Лапласа для этих случаев и решить МКЭ. Но я не понимаю, как поставить граничные условия. Есть только мысль добавить функцию источника и задать граничные условия как для стержня (точечного заряда в двумерном случае) на достаточно большом расстоянии, считая, что размеры полоски на больших расстояниях незначительно влияют на решение.

P.S. Предназначен ли вообще МКЭ для таких задач?

[Alex-Yu]

lllusion в сообщении #1118478 писал(а):

Передо мной поставили задачу рассчитать электростатические поля, порождаемые бесконечным стержнем или бесконечной полоской, с помощью метода конечных элементов. Значит, мне достаточно составить 2-мерные граничные задачи уравнения Лапласа для этих случаев и решить МКЭ. Но я не понимаю, как поставить граничные условия.

А в чем проблема? На поверхности проводника (стержень и полоска, надо понимать, проводящие) задан потенциал (можно просто взять единицу, в силу линейности, тем самым, получится решение для любого, лишь умножить). На бесконечности -- нуль. Ну, видимо, бесконечность в численном методе придется заменить просто чем-то очень дальним. И все, решайте себе ур-е Лапласа МКЭ.

-- Ср апр 27, 2016 15:35:56 --

lllusion в сообщении #1118478 писал(а):

P.S. Предназначен ли вообще МКЭ для таких задач?

Вообще-то решать двумерные задачи электростатики численно --- есть некое извращение. Потому, что такие задачи ВСЕГДА решаются аналитически методами ТФКП. Но, в принципе, можно и численно.

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #1118563 писал(а):

А в чем проблема? На поверхности проводника (стержень и полоска, надо понимать, проводящие) задан потенциал (можно просто взять единицу, в силу линейности, тем самым, получится решение для любого, лишь умножить). На бесконечности -- нуль.

Проблема в том, что в потенциал от бесконечного стержня на бесконечности расходится (правда, лишь логарифмически).

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #1118567 писал(а):

Проблема в том, что в потенциал от бесконечного стержня на бесконечности расходится (правда, лишь логарифмически).

А, ну да, не обратил внимание. Ну тогда ГУ второго рода: градиент равен нулю. Например радиальный на большой окружности.

Получится некий "гибрид" задачи Дирихле и задачи Неймана. Но для численного метода --- нет проблем.

Впрочем, можно и так, как я сначала написал. Реальной-то бесконечности в численном методе не будет. Вместо бесконечности будет просто большое число (много больше поперечных размеров стержня). А поскольку расходимость логарифмическая, то и на переполнение (компьютерной памяти, отведенной на одно число) тоже не нарвемся. Ну будет там логарифм пусть даже миллиона... Никаких проблем.

[vasya321]

Alex-Yu в сообщении #1118563 писал(а):

Вообще-то решать двумерные задачи электростатики численно --- есть некое извращение. Потому, что такие задачи ВСЕГДА решаются аналитически методами ТФКП.

Наверное, это результат какой-то красивой теоремы. Не подскажете её название, чтобы я мог ознакомиться?

[Alex-Yu]

vasya321 в сообщении #1119116 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1118563 писал(а):

Вообще-то решать двумерные задачи электростатики численно --- есть некое извращение. Потому, что такие задачи ВСЕГДА решаются аналитически методами ТФКП.

Наверное, это результат какой-то красивой теоремы. Не подскажете её название, чтобы я мог ознакомиться?

Как действительная так и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лаласа (двумерному). Так что никакой теоремы не надо, лишь построить соответствующую функцию. Для последнего, в случае многоугольной области, можно использовать интеграл Шварца.

[vasya321]

Alex-Yu в сообщении #1119230 писал(а):

Как действительная так и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лаласа (двумерному). Так что никакой теоремы не надо, лишь построить соответствующую функцию. Для последнего, в случае многоугольной области, можно использовать интеграл Шварца.

Насколько я вас понял, вы говорите про метод расчёта электростатического поля с помощью конформных отображений. Расчётная область решаемой задачи отображается на область в которой известно аналитическое решение уравнения Лапласа. Если расчётная область — это многоугольник, то для построения отображающей функции можно использовать интеграл Кристоффеля-Шварца (хорошо бы, чтобы он ещё выразился через элементарные функции). Тогда мы отобразим многоугольник на полуплоскоть над вещественной осью, где можно решить уравнение Лапласа.

Но откуда следует, что для областей более сложной геометрии можно найти подходящее отображение на область, в которой уравнение Лапласа имеет аналитическое решение? Кроме того, в расчётной области могут быть диэлектрики с разными диэлектрическими проницаемостями.

Например, при расчёте эл. стат. поля в трансформаторе иногда решают задачу в двумерной постановке (не осесимметричной). Уравнение Лапласа надо решить в геометрии рис. 1. Аналитическое решение вряд ли будет возможно получить.

Рис. 1. Основные элементы глав­ной изоляции и масляные проме­жутки обмоток трехфазного транс­форматора на 110 кВ.
1 – цилиндры из электрокартона, 2 – прессующее стальное кольцо,
3 – угло­вые шайбы из электрокартона, 4 – междуфазная перегородка
(барьер), 5 – емкост­ное кольцо, 6 – нижний изоляционный барьер

Ещё можно ответить на вопрос: для каких же задач электростатики подходит МКЭ? Основными трудностями МКЭ является невозможность расчёта в неограниченной области, необходимость задания сетки во всей расчётной области и расчёт поля от бесконечно тонких проводников. Данных недостатков лишены метод эквивалентных зарядов (МЭЗ, charge simulation method) и метод интегральных уравнений (МИУ). В них неизвестные заряды задаются на границах расчётной области. После определения неизвестных зарядов можно рассчитывать поле в произвольной точке пространства. Однако, возникают трудности с учётом областей с разной диэлектрической проницаемостью. Кроме того, мне неизвестна ни одна программа, реализующая МЭЗ или МИУ, позволяющая рассчитывать поля в произвольной геометрии и рассчитанная на стороннего пользователя. Напротив, для МКЭ существует большое число бесплатных и платных программ. Проблема с расчётом поля в неограниченной области решается её ограничение на достаточном удалении от интересующих областей, а также использованием бесконечных элементов (infinite element). Проблема расчёт поля от тонких проводников решается заданием проводников конечной толщины и сгущением сетки вблизи них. В программе Comsol можно задавать точечные и линейные заряды (самому пока не приходилось использовать). Кроме того, если наряду с эл. стат. полем требуется рассчитать ещё движение потока газа, распределение концентрации заряженных частиц, то современные программы (например, Comsol) тоже умеют это делать. Таким образом, для расчёта эл. стат. поля МКЭ практически не имеет конкурентов.

[Alex-Yu]

vasya321 в сообщении #1119364 писал(а):

Например, при расчёте эл. стат. поля в трансформаторе иногда решают задачу в двумерной постановке (не осесимметричной). Уравнение Лапласа надо решить в геометрии рис. 1. Аналитическое решение вряд ли будет возможно получить.

Да, Вы правы, я очень сильно погорячился на счет "всегда". Ваш контрпример это с убедительностью показывает.

[lllusion]

Alex-Yu в сообщении #1118571 писал(а):

DimaM в сообщении #1118567 писал(а):

Проблема в том, что в потенциал от бесконечного стержня на бесконечности расходится (правда, лишь логарифмически).

А, ну да, не обратил внимание. Ну тогда ГУ второго рода: градиент равен нулю. Например радиальный на большой окружности.

Получится некий "гибрид" задачи Дирихле и задачи Неймана. Но для численного метода --- нет проблем.

Спасибо за предложенный метод. Но не понимаю, относительно какой точки получится вычисленный потенциал.

На самом деле ещё была идея использовать асимптотику потенциала бесконечной пластины. На бесконечности потенциал будет $O(\ln r)$. Руководитель предложил задать точку нулевого потенциала $M$, на большом радиусе задать условие $u|_{r=R}=\lambda \ln r$. Из серий вычислений найти такое $\lambda$, при котором потенциал в точке $M$ будет равен нулю. Но я сомневаюсь в таком решении, потому что $\lambda \ln r$ это потенциал бесконечного стержня относительно $r=1$, насколько я понимаю.
То есть, видимо, надо задавать условие вида $u|_{r=R}=\lambda \ln r + C$. Притом, если бы точка $M$ находилась на достаточно большом расстоянии от пластины, то, думаю, можно было бы $C$ положить равным $-\lambda \ln r_C$. Но если эта точка находится близко, то такой трюк не пройдёт и придётся каким-то образом вычислять 2 параметра.
Возможно ли таким путём поставить хорошее граничное условие?

vasya321, спасибо за рассуждения о МКЭ.

[lllusion]

Alex-Yu в сообщении #1118571 писал(а):

DimaM в сообщении #1118567 писал(а):

Проблема в том, что в потенциал от бесконечного стержня на бесконечности расходится (правда, лишь логарифмически).

А, ну да, не обратил внимание. Ну тогда ГУ второго рода: градиент равен нулю. Например радиальный на большой окружности.

Получится некий "гибрид" задачи Дирихле и задачи Неймана. Но для численного метода --- нет проблем.

Хотя нет. В таком случае решением будет просто константа. Совсем не то.

[Alex-Yu]

lllusion в сообщении #1123720 писал(а):

Хотя нет. В таком случае решением будет просто константа. Совсем не то.

Хм, действительно, как легко сообразить. Не проходит такой "финт".

[Alex-Yu]

Alex-Yu в сообщении #1123740 писал(а):

Не проходит такой "финт".

Пожалуй, этот "финт" можно таки спасти. Нужно просто радиальный градиент на большой окружности задать не нулем, а некой константой (легко выражаемой через линейную плотность заряда на стержне). А на стержне задать любой постоянный потенциал, например ноль. Поскольку птенциал все равно определен лишь с точностью до константы, то не важно какой именно мы зададим потенциал, лишь бы не менялся по поверхности проводника.

Выше приведены лишь некие соображения, гарантировать, что получится, не могу, нужно проверять. Собственно, нужно лишь проверить, что на сетке (лучше в полярных координатах) получается ровно столько уравнений, сколько переменных.

Вообще-то тут бы придумать "хитрую" сетку, согласующуюся с формой стержня и постепенно превращающуюся в "радиально-угловую" (удобно для большой окружности). Впрочем, совсем не обязательно брать большую окружность, и на большом квадрате можно сообразить, какой асимтотически будет нормальный градиент, выраженный через линейную плотность заряда.

[drug39]

lllusion в сообщении #1118478 писал(а):

Есть только мысль ... задать граничные условия ... на достаточно большом расстоянии...

Нет, задайтесь конкретной формой профиля тел стержня и полоски, результаты будут зависеть от этих форм. Это неоднократно на форуме обсуждалось.