2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональные ряды и сходимость.
Сообщение09.04.2008, 18:12 
Добрый день!
Нужно исследовать на сходимость(поточечную и равномерную) функциональный ряд
$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {(1+(x-n)^2)\ln n}$

Особенно интересно будет ли ряд равномерно сходиться/расходиться на всяческих лучах $[a;+\infty)$

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 18:22 
Аватара пользователя
:evil: А что Вы сами думаете?

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 18:27 
Мне кажется что поточечная сходимость в этом ряде есть везде.
Равномерная сходимость присутствует на отрицательных числах(можно ограничить сходящимся мажорантным рядом, признак Вейрштрасса). Вот что сделать с лучами [a;+\infty) я не представляю. Большое подозрение, что там все-таки сходимости не будет, и это следует отрицать по критерию Коши, но конкретных значений, как понимаете, я не поймал

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 18:35 
Аватара пользователя
:evil:
Это следует отрицать по определению, доказывая, что достаточно далеко сумма хвоста станет больше любого $\varepsilon$.

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 19:01 
это понятно...но такую сумму мне не подобрать

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 19:27 
Аватара пользователя
По-моему, ряд сходится равномерно на $\mathbb R$.

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 19:36 
А чем вы это обоснуете?=)

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 19:37 
Аватара пользователя
:evil:
незваный гость писал(а):
Это следует отрицать по определению, доказывая, что достаточно далеко сумма хвоста станет больше любого $\varepsilon$.

:oops: Я заблуждался. :oops:

Сделав пересчёт на бумажке, согласен с RIP.

Попробуйте выбрать окрестность $(x-c(x), x+c(x))$ для некоторой удобной $c(x)$ (скажем, степенной, или линейной), и оценить сумму ряда вне этой окрестности и в ней раздельно.

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 19:44 
Аватара пользователя
Могу предложить такой подход: доказывать по определению. Воспользуйтесь тем, что $$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{1+(x-n)^2}=O(1)$$, $x\in\mathbb R$.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group