Сечение шара гиперболическим параболоидом

[ewert]

arseniiv в сообщении #1118561 писал(а):

Кстати, а вот длину кривой пересечения окружности и того параболоида найти уже не такая пустяковая задача!

Ну интеграл-то выписать -- достаточно пустяковая (и лучше вот тут-то как раз в декартовых). Только он, кажется, не берётся.

[agapov]

provincialka в сообщении #1118538 писал(а):

agapov
Вам задачу непременно надо с помощью интеграла решать? Вам тут усиленно намекают, что ответ очевиден! И чтобы это заметить, надо как раз не делить фигуру на части а посмотреть на неё целиком!

Вот исходное условие задачи:

[Munin]

А которая из них меньшая???

[ewert]

Это-то как раз уже и не важно, которая из них меньшая. Поскольку объём обеих частей сферы равен нулю...

[Munin]

Ну что вы! Это же открытие в математике, что есть два нуля, один из которых меньше другого!

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1118818 писал(а):

Это же открытие в математике, что есть два нуля, один из которых меньше другого!

Это очень давнее открытие. Называется нестандартный анализ.

Но, боюсь, сочинитель этой формулировки об этом даже и не подозревал. Боюсь, что оптимальный метод решения подобных задач -- плюнуть сочинителю в душу.

[svv]

Хотят, кровожадные, тройных интегралов — пускай будут тройные. Но выбор координат за нами.

1) Перейти от декартовых координат $x, y, z$ к другим декартовым $u, v, w$ по формулам:
$x=\frac{u+v}{\sqrt 2}\quad\quad y=\frac{-u+v}{\sqrt 2}\quad\quad z=w$
Это — поворот системы координат на $-\pi/4$ вокруг оси $Oz$ (якобиан перехода равен $1$). Уравнения сферы и параболоида будут:
$u^2+v^2+w^2=1\quad\quad 2uv=w$

2) Перейти к цилиндрическим координатам $\rho, \varphi, Z$ по формулам
$v=\rho\cos\varphi\quad\quad w=\rho\sin\varphi\quad\quad u=Z$
(как если бы $v,w,u$ играли роль $x,y,z$). Уравнения сферы и параболоида будут:
$\rho^2+Z^2=1\quad\quad \tg\varphi=2Z$

Результат: при фиксированном $Z$ (внешняя переменная интегрирования) область интегрирования по $\rho, \varphi$ будет полукругом. Никаких арктангенсов находить не нужно: важно лишь, что пределы по $\varphi$ отстоят на $\pi$.

[agapov]

Спасибо, посчитал, все получилось. И конечно, это половина шара.