Доказательство признака Дюбуа-Реймона сходимости ряда

[ProPupil]

Признак сходимости Дюбуа-Реймона
Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})$ сходится абсолютно, а ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ сходится, вообще говоря, условно. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится, вообще говоря, условно.

Попытка доказательства:
Применяя суммирование по частям, мы получаем

$$\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n = a_NB_N + \sum\limits_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n,$$

где $B_n = \sum\limits_{j=1}^n b_j$.

Т. к. ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ сходится, то последовательность $B_N$ является сходящейся при $N \to \infty$.

Далее, частичные суммы $S_N(A)=\sum\limits_{n=1}^N (a_n-a_{n+1})=a_0-a_{N+1}$, сл-но, $a_{N+1}=a_0-S_N(A).$

Поэтому последовательность $\{a_n\}_{N=1}^\infty$ является сходящейся (частичные суммы в правой части равенства сходятся, т. к. из абсолютной сходимости следует условная сходимость).

Т. о. последовательность $\{a_Nb_N\}_{N=1}^\infty$ является сходящейся, поэтому вопрос о сходимости ряда в левой части сводится к вопросу о сходимости последовательности $\sum\limits_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n$

Вот на этом месте возник вопрос, поскольку задача здесь не сводится к признакам Абеля или Дирихле, которые предполагают монотонность той или иной части ряда абелева типа. И я пока не увидел, что критерий Коши может дать что-то полезное. Посоветуйте, что можно сделать.

[ewert]

ProPupil в сообщении #1118414 писал(а):

$$\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n = a_NB_N + \sum\limits_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1})B_n,$$

ProPupil в сообщении #1118414 писал(а):

И я пока не увидел, что критерий Коши может дать что-то полезное.

Даст запросто. Тупо оцените кусок от Эм до Эн суммы в правой части по модулю. Сумма модулей приращений "а" будет стремиться к нулю, в то время как дополнительный множитель "Бэ" будет по модулю ограничен.

[RIP]

ProPupil в сообщении #1118414 писал(а):

задача здесь не сводится к признакам Абеля или Дирихле

Вообще-то, сводится. Абсолютная сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ равносильна тому, что $a_{n}$ можно представить в виде разности двух неубывающих сходящихся последовательностей (например, $a_{n}=S_{n}-\left(S_{n}-a_{n}\right)$, где $S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left\lvert a_{k}-a_{k+1}\right\rvert$), так что это по сути переформулировка признака Абеля (у нас признак Абеля так и формулировался, по-моему).