Как рассчитать самый простой трансформатор?

[Atom001]

Время доброе!
Имеется простой двухобмоточный трансформатор. Первичная обмотка мотается из медного провода, диаметр $d_1$ которого составляет 0.22 мм. Данная обмотка подключается к бытовой сети 220 В, 50 Гц. С вторичной обмотки требуется снимать 22 В.
Сердечник трансформатора - Ш-образный. Площадь окна $S_o$ равна 748 $\text{ мм}^2$, площадь сердечника (стали) $S_c$ равна 380 $\text{ мм}^2$. КПД трансформатора $\eta$ задаётся заранее и равен 0.8.
Требуется ответить на вопрос какую максимальную выходную мощность $max(P_2)$ можно выжать из данного трансформатора? Также нужно определить количество витков первичной и вторичной обмоток и диаметр провода вторичной обмотки.

Разумеется есть кучи-и-кучи-и-кучи различных методик и программ для расчётов. Но я хочу рассчитать всё с нуля, чтобы понять суть конечных формул.

Скажите, пожалуйста, с чего нужно начать? С того, что $I_1=S_1j_1$ или с того, что $B(t)=B_0+\frac{1}{W_1S_cK_c}\int\limits_{0}^{t}U_1dt$? Или с чего-то другого?

[AnatolyBa]

С нуля - будьте готовы к очень приблизительному результату. Много коэффициентов в методиках взяты либо из опыта либо из очень сложных расчетов.
Можете начать с допустимой плотности тока в обмотке, скажем 2 А/кв мм. Отсюда определяете ток и, следовательно, мощность (для идеальной нагрузки).
Далее, максимальная индукция в сердечнике - порядка 1.6 Тл - в зависимости от стали. Индукция определяет потери в сердечнике - придется искать в справочниках. Если окажутся слишком большие, придется индукцию уменьшать.
Из напряжения и индукции вычисляете количество витков первичной обмотки. Далее можно оценить сопротивление первичной обмотки и омические потери.
Омические потери во вторичной обмотке должны быть примерно такими же. На этом этапе можно оценить укладываетесь ли вы в КПД и влезаете ли с проводами в окно. Если нет - внести корректировки
Далее определяете коэффициент трансформации из вторичного напряжения - и количество витков вторичной обмотки. Вроде у вас 0.1, но нужно накинуть процентов 10 исходя из омических потерь.
Как то так.

[Atom001]

AnatolyBa в сообщении #1118319 писал(а):

С нуля - будьте готовы к очень приблизительному результату.

Да в принципе, для моих целей хватит и приблизительных расчётов.

AnatolyBa в сообщении #1118319 писал(а):

Можете начать с допустимой плотности тока в обмотке, скажем 2 А/кв мм. Отсюда определяете ток и, следовательно, мощность (для идеальной нагрузки).

Тогда надо знать какой проволокой будет выполняться вторая обмотка. А это неизвестно изначально. По расчётам нужно сказать, какой диаметр брать для вторичной обмотки.
Ну точно известен диаметр первичной обмотки $d_1=0.22 \text{ mm}^2$, тогда $i_1=j_1S_1=\frac{1}{4}j_1\pi d^2_1=\frac{1}{4}\cdot2\text{ A/}\text{mm}^2\cdot (0.22 \text{ mm}^2)^2=0.076 \text{ A}$.
Это получился ток на один виток первичной обмотки. Значит, $I_1=i_1W_1$ и $P_1=I_1U_1=i_1W_1U_1$.
Тогда, если учесть, что $P_2=I_2U_2=\eta P_1$, то можно записать

$$I_2U_2=\eta P_1$$

$$I_2U_2=\eta i_1W_1U_1$$

$$i_2S_2W_2U_2=\eta i_1W_1U_1$$

$$i_2S_2k^2=\eta i_1$$

, где $k$ - коэффициент трансформации

$$\frac{1}{4}\pi j_2d^2_2\frac{1}{4}\pi d^2_2k^2=\eta\frac{1}{4}\pi j_1d^2_1$$

$$\frac{1}{4}\pi d^4_2k^2=\eta d^2_1$$

$$d_2=\sqrt{\frac{d_1}{k}}\sqrt[4]{\frac{4\eta}{\pi}}$$

Расчёт показывает, что $d_2=0.737 \text{ mm}$, тогда $i_2=0.853 \text{ A}$
Почти 1 ампер на один виток.... Многовато будет.....

[Xey]

Может начать с железа. Какую мощность может пропустить магнитопровод данного сечения и длины при допустимых потерях?

[Atom001]

Xey

$$P=\frac{4.44\eta S_c S_oK_oK_cfB_{max}j}{(1+\eta)*100}$$

Эту формулу посоветовал один преподаватель. В ней площади измеряются в сантиметрах квадратных, а плотность тока в амперах-на-миллиметр-квадратный, всё остальное, как в СИ.
Величины я здесь оценил/замерил так:
$\eta = 0.8$
$S_c = 3.8 \text{ cm}^2$
$S_o = 7.48 \text{ cm}^2$
$K_o = 0.25$
$K_c = 0.85$
$f = 50 \text{ Hz}$
$B_{max} = 1.2 \text{ T}$
$j = 2 \text{ A/}\text{mm}^2$

Если всё посчитать, то выходит 17,9 Вт.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1118372 писал(а):

$I_1=i_1W_1$

Это как? Ток один, идет по всем виткам последовательно.

Atom001 в сообщении #1118372 писал(а):

$$i_2S_2W_2U_2=\eta i_1W_1U_1$$

А это что? Откуда здесь $S_2$ ?

Xey
Прекрасно, но ТС хотел "с нуля" ...

[Atom001]

AnatolyBa в сообщении #1118393 писал(а):

Это как? Ток один, идет по всем виткам последовательно.

Ну да, Вы правы.
Тогда $I_1=0.076\text{ A}$. А что это значит? В сети-то иной раз под 5 ампер ток поднимается.

AnatolyBa в сообщении #1118393 писал(а):

А это что? Откуда здесь $S_2$ ?

Это уже не актуально, но всё же:
$I_2=i_2W_2=j_2S_2W_2$

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1118401 писал(а):

В сети-то иной раз под 5 ампер ток поднимается

Сеть может много дать, а ваш трансформатор может потребить только малую часть.
Кстати $0.076\cdot220=16.7$ - близко к тому, что вы посчитали по сложной формуле

[Atom001]

AnatolyBa
Тогда ещё надо определиться, на какое напряжение (198, 220 или 242 В) домножать в данном случае. Требуется не просто обеспечить на выходе 22 В, а ещё и сделать это напряжение максимально возможным.

-- 26.04.2016, 23:28 --

AnatolyBa в сообщении #1118404 писал(а):

Сеть может много дать, а ваш трансформатор может потребить только малую часть.

А сеть обмотку не пробьёт?

[Xey]

Atom001 в сообщении #1118407 писал(а):

А сеть обмотку не пробьёт?

Ток сети не прет в первичную обмотку , потому что его сдерживает противоэдс на индуктивности первичной обмотки (эта индуктивность определяется числом витков и наличием железного сердечника)
Сечение железа пока вроде ни при чем.

[Atom001]

Xey в сообщении #1118413 писал(а):

Ток сети не прет в первичную обмотку , потому что его сдерживает противоэдс на индуктивности первичной обмотки (эта индуктивность определяется числом витков и наличием железного сердечника)

Хорошо.

Тогда максимальная первичная мощность $P_{1m}=0.076\cdot 242=18.39 \text{ W}$.
Значит, максимальная вторичная мощность $P_{2m}=18.39\cdot 0.8=14.72 \text{ W}$.
Требуется обеспечить на выходе 22 В, следовательно $I_{2}=\frac{14.72}{22}=0.669 \text{ A}$.
Если учесть, что плотность тока 2 А/кв. мм, то $S_{2}=\frac{0.669}{2}=0.334 \text{ mm}^2$.
Ну и наконец $d_{2}=2\cdot\sqrt{\frac{0.334}{3.14}}=0.653 \text{ mm}$.

-- 27.04.2016, 00:17 --

Теперь нужно считать витки. Я не знаю как.

[Xey]

Atom001 в сообщении #1118415 писал(а):

нужно считать витки. Я не знаю как

Я тоже. Может выбрать величину тока холостого хода в первичной (это потери ) . Из него определить необходимую индуктивность первичной. Так можно найти ее витки.

[Atom001]

Xey
А как связан ток с индуктивностью?

-- 27.04.2016, 00:53 --

$I_1=\frac{U_1}{2\pi fL_1}$?

[Dmitriy40]

Из тока в обмотке, напряжения и частоты уже можно получить необходимую индуктивность. А из неё и количество витков.

-- 26.04.2016, 19:55 --

Atom001 в сообщении #1118425 писал(а):

$I_1=\frac{U_1}{2\pi fL_1}$?

Без учёта омических потерь да.

[Kephe]

Для сетевых трансформаторов число витков считают исходя из допустимой индукции. Индуктивность обмоток обычно никого не интересует (потому что и так получается адекватной, если оптимизировать по другим параметрам). AnatolyBa в общем-то уже примерно это и сказал.