Континуум-гипотеза и непрерывность

[INGELRII]

В последнее время на форуме стало модно задавать глупые вопросы за континуум-гипотезу, а кто я такой, чтобы идти против моды?

Итак, пусть при помощи эльфийской магии мы получили множество $M$, чья мощность лежит между счетной и континуальной. Верно ли я понимаю, что:

1) Можно задать на $M$ отношение порядка, то есть для любых двух неравных элементов сказать, который из них больше, ну и чтобы выполнялось все, что обычно требуется от порядка - транзитивность, антисимметричность, и что там еще?

2) Можно ли построить биекцию между $M$ и некоторым подмножеством множества $\mathbb{R}$, причем сохраняющую отношение порядка?

3) Верно ли тогда выходит, что на $M$ нигде нет непрерывности? То есть можно построить два его подмножества $A, B$, таких, что каждый элемент из $A$ меньше каждого элемента из $B$, и при этом в $M$ не найдется элемента больше любого элемента из $A$ и меньше любого элемента из $B$? Как в классическом примере с множеством $\mathbb{Q}$ и $\sqrt{2}$.

То есть если все вопросы собрать в один: верно ли, что непрерывность начинается с континуума, неважно, принимаем мы пресловутую гипотезу за истину или за ложь?

[Pulseofmalstrem]

INGELRII
Для того чтобы разговаривать о непрерывности нужно ввести соответсвующую структуру - топологию, причем сделать это можно многоразличным образом. Причем, можно ввести такую топологию, что вообще любая функция из данного множества будет непрерывной. Так что непрерывность, к упорядоченности и мощности множества имеет весьма далекое отношение.

[Dan B-Yallay]

INGELRII в сообщении #1118169 писал(а):

1) Можно задать на $M$ отношение порядка, то есть для любых двух неравных элементов сказать, который из них больше, ну и чтобы выполнялось все, что обычно требуется от порядка - транзитивность, антисимметричность, и что там еще?

Можно даже вполне упорядочить, ежели вооруживишись аксиомой выбора.

[provincialka]

Можно и вполне. Я так понимаю, вопрос о вложении $M$ в $\mathbb R$, с наследуемой топологией. (Ответа не знаю, стараюсь понять вопрос)

[mihaild]

INGELRII в сообщении #1118169 писал(а):

Можно задать на $M$ отношение порядка

Да, можно - например, вложив $M$ в $\mathbb{R}$ и взяв порядок оттуда.

INGELRII в сообщении #1118169 писал(а):

2) Можно ли построить биекцию между $M$ и некоторым подмножеством множества $\mathbb{R}$, причем сохраняющую отношение порядка?

Как минимум для некоторых порядков на $M$ можно (не знаю, можно ли для всех).

INGELRII в сообщении #1118169 писал(а):

То есть можно построить два его подмножества $A, B$,

Такое бывает даже в $\mathbb{R}$: $A = (-1; 0], B = (0; 1)$.

[provincialka]

Боюсь соврать... но ведь $\mathbb R$ является пополнением множества рациональных чисел, то есть минимальным полным множеством, содержащем $\mathbb Q$. Но если не привязываться к рациональным числам, можно пополнить что-то другое -- ?

[INGELRII]

provincialka в сообщении #1118189 писал(а):

Можно и вполне. Я так понимаю, вопрос о вложении $M$ в $\mathbb R$, с наследуемой топологией. (Ответа не знаю, стараюсь понять вопрос)

Да.

mihaild в сообщении #1118190 писал(а):

Такое бывает даже в $\mathbb{R}$:

Уау. Конечно же, подразумеваются два открытых подмножества. Формулировку аксиомы непрерывности я в рамках борьбы со склерозом подсмотрел в русской википедии. И очень напрасно: там в формулировке ошибка, Ваш пример ее рушит! Открытые подмножества надо.

provincialka в сообщении #1118193 писал(а):

Боюсь соврать... но ведь $\mathbb R$ является пополнением множества рациональных чисел, то есть минимальным полным множеством, содержащем $\mathbb Q$. Но если не привязываться к рациональным числам, можно пополнить что-то другое -- ?

Так. Тогда вложение нашего $M$ должно быть "менее полным", нежели $\mathbb{R}$, и "не более полным", чем $\mathbb{Q}$. И стало быть, оное $\mathbb{R}$ служит минимальным полным множеством и для $M$, верно?

Кстати:

Pulseofmalstrem в сообщении #1118171 писал(а):

Причем, можно ввести такую топологию, что вообще любая функция из данного множества будет непрерывной.

Можно ли продемонстрировать, скажем, для $\mathbb{Z}$?

[mihaild]

INGELRII в сообщении #1118207 писал(а):

Конечно же, подразумеваются два открытых подмножества

А прежде чем говорить об "открытом множестве", нужно честно ввести топологию.

INGELRII в сообщении #1118207 писал(а):

И стало быть, оное $\mathbb{R}$ служит минимальным полным множеством и для $M$, верно?

В $\mathbb{R}$ есть много собственных полных подмножеств. Например, $\mathbb{N}$.

INGELRII в сообщении #1118207 писал(а):

Можно ли продемонстрировать, скажем, для $\mathbb{Z}$?

Вводим дискретную топологию (любое множество открыто). Тогда любая функция будет непрерывной (прообраз любого открытого открыт, т.к открыто всё).

[grizzly]

INGELRII,

Смешались в кучу кони, люди?

Когда Вы говорите о "непрерывности вещественных чисел" (а также об аксиоме непрерывности), то (не)понимаете под непрерывностью полноту вещественных чисел (полноту по Дедекинду). Когда Вы говорите о каких-то воображаемых Вами ошибках в Википедии, то представляете себе какие-то непрерывные отображения в топологических пространствах. Как Вы вообще представляете использование топологии на $\mathbb R$ при формулировке аксиом $\mathbb R$?

[mihaild]

grizzly в сообщении #1118233 писал(а):

воображаемых Вами ошибках в Википедии

Там действительно при переписывании из Кудрявцева нестрогие неравенства превратились в строгие, и получилось неверное утверждение (уже поправил).

[grizzly]

mihaild в сообщении #1118237 писал(а):

получилось неверное утверждение (уже поправил).

Спасибо! (хотя я сразу попал на страницу с нестрогими :)
В любом случае, я думаю, что элемент путаницы был, а изначальный вопрос INGELRII (последний в первом сообщении) имеет право на существование, если понимать непрерывность по-Дедекиндовски. И я полагаю, что ответ на вопрос утвердительный.

[grizzly]

Не знаю, насколько будет уместно рассказать в этой теме об одном остроумном способе использования КГ (континуум-гипотезы), но я попробую.

Есть одна интересная старая теорема Г.Бламберга о том, что:
для любой функции $f:\mathbb R\to \mathbb R$ существует плотное подмножество прямой $D\subset \mathbb R$ такое, что сужение $f$ на $D$ будет непрерывно.
Аналогичное справедливо для вещественнозначной функции заданной на полном метрическом пространстве и на некоторых других (их называют пространствами Бламберга).

Возник вопрос: существует ли компакт, не являющийся пространством Бламберга? Ответ -- да. Пример был построен примерно так: (упрощённо) взяли прямую сумму двух компактов; для первого доказали, что он не Бламберга при принятии КГ, а для второй -- при отрицании. В итоге получили теоретико-множественное доказательство чистой теоремы топологии / анализа.

Подробности здесь, в конце статьи. (Вообще статья интересная, я на неё пару раз попадал, но всё по верхам.)