Вираж самолёта

[Charlz_Klug]

Задача:
Самолёт совершает вираж, двигаясь по окружности с постоянной скоростью $\upsilon$ на одной и той же высоте. Определить радиус $r$ этой окружности, если плоскость крыла самолёта наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным углом $\alpha$.

Ответ. $r = \frac {\upsilon^2} {g \tg{\alpha}}$

Указание: Когда самолёт летел прямолинейно, плоскость крыла была горизонтальна. Подъёмная сила в этом случае направлена вертикально вверх, т.е. перпендикулярна к плоскости крыла. При повороте корпуса самолёта вокруг продольной оси подъёмная сила поворачивается на тот же угол, т.е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы взаимодействия самолёта с окружающей средой зависят лишь от относительного движения самолёта и среды.

Как я представляю задачу:

Тогда проекция на ось $OX$ равна $F_x = F_{\text{крыла}} \sin{\alpha}$, соответственно, центростремительное ускорение равно $a = g \sin{\alhpa}$. А поскольку $r = \frac {\upsilon^2} {a} = \frac {\upsilon^2} {a \sin{\alpha}}$. Непонятно откуда взялся тангенс.

[Munin]

$F_\text{крыла}$ не константа, а зависит, например, от скорости самолёта.

Зато проекция её на вертикальную ось - одна и та же, потому что она определяется весом самолёта. (Педантично, силой тяжести, действующей на самолёт.)

[Charlz_Klug]

Munin, понял где моя ошибка. Я взял случай, когда самолёт летит прямо и горизонтально на одной высоте, тогда подъёмная сила крыла компенсирует силу тяжести $F_{\text{крыла}} = mg$, где $m$ - масса самолёта. После чего я наклонил крыло самолёта относительно горизонта и оставил подъёмную силу прежней, тогда подъёмная сила $F_{\text{под}} = F_{\text{крыла}} \cos{\alpha}$. Но в этом случае подъёмная сила меньше чем сила тяжести, а значит, самолёт будет падать. Нарушается условие задачи. Необходимо, чтобы подъёмная сила всегда была равна силе тяжести $F_{\text{под}} = mg$, тогда центростремительная сила будет равна $F_{\text{цен}} = mg \tg{\alpha} \Rightarrow ma_{\text{цен}} = mg \tg{\alpha} \Rightarrow a_{\text{цен}} = g \tg{\alpha}$ и радиус $r = \frac {\upsilon^2} {a_{\text{цен}}} = \frac {\upsilon^2} {g \tg{\alpha}}$. Спасибо за наводку!