Логика логической операции A=>B

[timber]

Не могу понять почему, если A ложно, то импликация $A \Rightarrow B$ всегда истинна.
С 0 и 1 совершенная глупость, на мой взгляд, получается.
Если $A=0, B=1$, то результат $(A \Rightarrow B)= 1$, и если $A=0, B=0$, то $(A \Rightarrow B)= 1$.
Это как понять, не вижу логики и реальных аналогий? Или нужно это принять просто на веру выше разума?

[mihaild]

Это не вера, это определение.
Например, это нужно чтобы формулировать теоремы вида "если условие, то заключение", не разбираясь, что происходит если условие не выполнено.

[Lia]

timber
«Мат. логика: импликация» и еще много, если задействовать поиск.

[arseniiv]

В тех темах сказано то, что я приведу ниже, но для быстроты приведу.

Рассмотрите теорему $\forall x\in\mathbb R.\;x>4\Rightarrow x>2$. Её легко доказать, используя самые простые свойства порядка. Значит, если подставить в $x>4\Rightarrow x>2$ вместо икса любое действительное число, должно получиться верное утверждение. Подставим сначала 3, а потом 1.

-- Сб апр 23, 2016 08:34:00 --

Это ничего не доказывает, это просто иллюстрация.

[timber]

Из того обсуждения, на которое ссылается Lia, можно резюмировать многообещающие тезисы:
1) Импликация нерациональна. Она не задаёт логическую связь.
2) Математическая логика неприменима к рассуждениям.
3) Логика не нужна.
Я задумался.
Тут надо было быть поосторожнее.

-- 23.04.2016, 12:34 --

arseniiv, в моем понимании Ваш пример теоремы не подходит для рассмотрения.
Такие предложения как $x>4, x>2$ не являются высказываниями.
Соответственно на основе таких предикатов нельзя строить логические конструкции, тем более пытаться делать какие-то выводы.

[Евгений Машеров]

Просто не надо путать утверждения "B истинно" и "импликация $A \Rightarrow B$ истинна".
Рассмотрим тезис Жеглова "Вор должен сидеть в тюрьме". Хитрый адвокат мог бы отмазать убийцу от наказания, ссылаясь на то, что тот не вор, поэтому не должен сидеть в тюрьме. Но, увы для адвоката, B истинно на основании иного закона, так что ни убийцу освобождать не будут, ни воров, отменяя тезис "Вор должен сидеть в тюрьме".

[Mikhail_K]

timber в сообщении #1117662 писал(а):

Такие предложения как $x>4, x>2$ не являются высказываниями.

С чего бы это? как раз являются.

[timber]

Давайте немного модифицируем жегловский случай.
Тезис A. Вор нарушил закон.
Тезис B. Нарушители закона сидят в тюрьме.
Истинной или ложной будет импликация: Если вор не нарушил закон, то он сидит (или должен сидеть) в тюрьме?
Так вот правило логики утверждает, что такое новое высказывание может быть вполне истинным суждением.

[Mikhail_K]

Евгений Машеров в сообщении #1117675 писал(а):

Рассмотрим тезис Жеглова "Вор должен сидеть в тюрьме".

Перефразирую.
У меня кто-то украл кошелёк и я подозреваю, что это сделал A.
И я говорю: "Если A вор, то он сядет в тюрьму".
Предположим, я живу в стране, где правоохранительные органы работают просто идеально, так что я могу быть уверен в том, что говорю. Так что моё высказывание истинно.
Но если A на самом деле не вор, то он может сесть в тюрьму (например, за убийство), а может и не сесть (если ни в чём не виноват). На истинность моего высказывания это никак не повлияет, оно останется истинным. Я ведь не говорил, что A непременно сядет в тюрьму, и я не говорил, что он сядет в тюрьму только в том случае, когда он вор. Я выразился иначе: если A вор, то он сядет (а если не вор, то не знаю, что с ним будет). Я выразился так для того, чтобы не ошибиться, чтобы моё утверждение было истинным всегда. И оно будет истинным даже тогда, когда A не вор и он сядет или не сядет в тюрьму.

[timber]

Mikhail_K в сообщении #1117678 писал(а):

timber в сообщении #1117662 писал(а):

Такие предложения как $x>4, x>2$ не являются высказываниями.

С чего бы это? как раз являются.

Ну нет же.
Просто потому, что о каждом из них (в контексте приведенной теоремы) нельзя сказать однозначно истинно оно или ложно.
Это отличительный признак любого высказывания.
Вот например, $5>4, 1>2$ -- это уже будут высказывания.

[Mikhail_K]

timber в сообщении #1117681 писал(а):

Ну нет же.
Просто потому, что о каждом из них (в контексте приведенной теоремы) нельзя сказать однозначно истинно оно или ложно.

Вот для того-то и сказано: $\forall x\in\mathbb{R},\quad x>4\Rightarrow x>2$.
То есть, при подстановке любого вещественного $x$, импликация будет верна.
Это соответствует вполне логичному заключению, что из $x>4$ следует $x>2$.
Вместе с тем, импликация верна и при $x=3$, когда первое неверно, а второе верно, и при $x=1$, когда неверны оба утверждения.
Всё, о чём говорит нам импликация: ЕСЛИ $x>4$, то $x>2$. Если же $x$ не больше $4$, то такие $x$ импликацию не интересуют и она будет верна, что бы там с ними ни было.

[mihaild]

timber в сообщении #1117681 писал(а):

Просто потому, что о каждом из них (в контексте приведенной теоремы) нельзя сказать однозначно истинно оно или ложно.

Хорошо, если вы так хотите - можно сказать, что $x > 0$ - это не высказывание (видимо, вы хотите под высказываниями понимать только замкнутые формулы).
Но $\forall x \in \mathbb{R}: x > 2$ - это высказывание (ложное). И $\forall x \in \mathbb{R}: x>4 \Rightarrow x > 2$ - тоже (истинное).

timber в сообщении #1117662 писал(а):

1) Импликация нерациональна. Она не задаёт логическую связь.

Что это вообще значит? Что значит "булева функция 2х аргументов нерациональна"? Рациональна ли конъюнкция? штрих Шеффера?

[Someone]

timber в сообщении #1117662 писал(а):

Такие предложения как $x>4, x>2$ не являются высказываниями.

Являются. Высказывания с параметрами (высказывательные функции). Их истинность зависит от того, что подставляется вместо свободных переменных.
А вообще, по умолчанию высказывание со свободными переменными интерпретируется так, будто по всем свободным переменным имеются кванторы всеобщности.

timber в сообщении #1117662 писал(а):

Соответственно на основе таких предикатов нельзя строить логические конструкции, тем более пытаться делать какие-то выводы.

Что, вообще нельзя употреблять переменные в логических формулах? Ну-ну.

timber в сообщении #1117681 писал(а):

Просто потому, что о каждом из них (в контексте приведенной теоремы) нельзя сказать однозначно истинно оно или ложно.
Это отличительный признак любого высказывания.

Это глупости. Высказывание в математической логике определяется чисто синтаксически. Никакая истинность или ложность не нужна. Высказывание перед нами или не высказывание, можно определить исключительно по внешнему виду. Возьмите учебник и прочтите определение.

Например, "$10$" — это не высказывание, а "$x>y$" — высказывание.

Вообще, какое-то нашествие начинающих изучать математическую логику с одними и теми же претензиями.

[Mikhail_K]

timber. Справедлива импликация: $3>4\Rightarrow 3>2$. Эта импликация именно из числа тех, которые Вас напрягают.
Но если бы она была несправедлива, если бы из $3>4$ не следовало бы $3>2$, то получилось бы, что из $x>4$ не всегда следует $x>2$. А это странно. Вот чтобы таких странностей не было, и ввели правило, что из лжи следует что угодно.

[timber]

Ну да. Тут я перемудрил.
С квантором всеобщности это будут высказывания.
Тогда в примере с теоремой не вижу противоречий.
Тезис A. Любое вещественное число больше 4. (ЛОЖЬ)
Тезис B. Любое вещественное число больше 2. (ЛОЖЬ)
Получаются следующие импликации:
Если вещественное число больше 4, то вещественное число больше 2. (ИСТИНА)
Если вещественное число больше 4, то не каждое вещественное число больше 2. (ИСТИНА)
Если не каждое вещественное число больше 4, то вещественное число больше 2. (ЛОЖЬ)
Если не каждое вещественное число больше 4, то не каждое вещественное число больше 2. (ИСТИНА)
Все логично.

Но знаете, поражает, что из лжи следует все, что угодно. В житейском опыте да, но в математике, как так будет вполне уместно сказать фразу -- "если все вещественные числа делятся на 2, то $4 > 2$".
В этом наверное сила. Бери, что хочу. Крути, как хочу.