Асимптотические константы Липшица

[demolishka]

Пусть $f \colon X \to X$ --- непрерывное отображение компактного метрического пространства $X$ в себя. Пусть $\rho$ --- метрика на $X$, $f^j$ --- итерация отображения $f$ выполненная $j$ раз.
Рассмотрим величины

$$k_j := \lim\limits_{\varepsilon \to 0+} \sup\limits_{0<\rho(x,y)<\varepsilon}\frac{\rho(f^{j}(x),f^{j}(y))}{\rho(x,y)}, \ \ j=1,2,\ldots.$$

Нужно показать, что если $k_{j_0} < \infty$ для некоторого $j_0$, то $k_j < \infty$ для $1 \leq j \leq j_0.$

Для достаточно маленьких $\varepsilon$ выполнено

$$\frac{\rho(f^{j}(x),f^{j}(y))}{\rho(x,y)} = \frac{\rho(f^{j}(x),f^{j}(y))}{\rho(x,y)} \cdot \frac{\rho(f^{j_0}(x),f^{j_0}(y))}{\rho(f^{j_0}(x),f^{j_0}(y))} \leq C \cdot \frac{\rho(f^{j}(x),f^{j}(y))}{\rho(f^{j_0}(x),f^{j_0}(y))}.$$

Но как можно показать ограниченность величины $\frac{\rho(f^{j}(x),f^{j}(y))}{\rho(f^{j_0}(x),f^{j_0}(y))}$?

[mihaild]

Кажется что это неправда.
Пусть $X = [0; 1], f(x) = \frac{x}{2}$ при $x < \frac{1}{2}$ и $f(x) = -\frac{\sqrt{1 - x}}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{2}$ при $x \geqslant \frac{1}{2}$.
Если я нигде не обсчитался, то у $f$ образ $[0; 0.5]$, производная ограничена на образе и неограничена в $1$ - так что $k_1 = \infty$, но $k_2 < \infty$.

[DeBill]

mihaild
Видимо, Вы хотели $f(x) = c\cdot x^2$ при малых $x$, и $f(x) = \sqrt{1-x}$ при больших - чтобы убить бесконечную производную при второй итерации ..

[mihaild]

DeBill
Да, бред написал (делил на расстояние между точками на предыдущей итерации, а не на исходное).

-- 22.04.2016, 20:30 --

Давайте так тогда: $f([0; \frac{1}{2}]) = 0, f(x) = \frac{-\sqrt{1 - x}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}, x \geqslant \frac{1}{2}$.
Тогда $f^2(x) = 0$, но $f^\prime(1) = \infty$.

[demolishka]

Большое спасибо за пример. Вопрос возник при чтении этой статьи, первые два предложения в теореме 3.1. По всей видимости там должен быть $\sup$ в определении числа $k$, а не $\inf$.