сканави для поступающих во втузы задача 2.357

[dp]

подскажите, является ли корректрым такое решение;
задача:
Доказать, что если для чисел x,y,z,m,n,p выполняются равенства
$x/m+y/n+z/p=1$ (1)
$m/x+n/y+p/z=0$ (2)
то для них выполняется также и равенство
$x^2/m^2+y^2/n^2+z^2/p^2=1$ (3)

мое решение такое:
обозначим $\frac{x}{m}=a, \frac{y}{n}=b, \frac{z}{p}=c$ тогда
$a+b+c=1$ (5)
и
$1/a+1/b+1/c=0$ (6)
$a^2+b^2+c^2=1$ (7)
преобразуем (6) получим
$\frac{bc+ac+ab}{abc}=0 \Rightarrow bc+ac+ab=0 $ (8)
последнее можно записать тремя способами
$a(b+c)=-bc$ (9)
$b(a+c)=-ac$ (10)
$c(a+b)=-ab$ (11)

преобразуем (5)
$a+b+c=1 \Rightarrow c(a+b)+c^2=c $ подставляем сюда (11) $c^2=c+ab$
аналогично получаем $a^2=a+bc$ и $b^2=b+ac$
подставляем их в (7)
$c+ab+b+ac+a+bc=1$
учитывая (8) получаем
$c+b+a=1$

читд

[provincialka]

Вроде верно... но можно было проще. Возведите равенство (5) в квадрат.

[dp]

да, спасибо, перемудрил

[Someone]

dp в сообщении #1117372 писал(а):

учитывая (8) получаем
$c+b+a=1$

читд

Э-э-э… Я чего-то не понял, или это совпадает с (5)?

[provincialka]

(to Someone)

Ну да. то есть это верно.

[Someone]

(provincialka)

Ну, дык, требовалось-то не (5), а (7). Точнее, даже (3).

[sng1]

(Оффтоп)

чинтд