Выбрать числа, составляющие геометрическую прогрессию...

[Ktina]

Можно ли из последовательности

$$1,\quad\dfrac{1}{12},\quad\dfrac{1}{12^2},\quad\dfrac{1}{12^3},\quad\dots$$

выбрать числа, составляющие бесконечную геометрическую прогрессию, сумма которой равна $\dfrac{1}{7}$?

Взято отсюда (Лига 11Б), и кажется подозрительно простой задачей. Ведь если число 1 выбрано, то сумма уже не меньше 1, так как все числа положительны. А если 1 не выбрано, то сумма не больше $\dfrac{1}{11}$.

Ещё была такая мысль, что вместо 12 там 2, но и тогда тоже слишком просто, ведь достаточно выбрать все числа, обратные степеням восьмёрки.

Кто-нибудь знает настоящее условие этой задачи?

[gris]

Может быть сразу решить общую задачу?
Из геометрической прогрессии ${a_k=a^{k-1}}$ выделяются всевозможные (бесконечные?) подпрогрессии. Описать множество их сумм.

[arseniiv]

Ну, это тоже школьно.

$$a^k(1 + a^n + a^{2n} + \ldots) = \dfrac{a^k}{1-a^n}.$$