Голоморфные формы и векторные поля на сфере Римана

[Hasek]

Помогите, пожалуйста, доказать, что на римановой сфере нет голоморфных дифференциальных 1-форм, отличных от нулевой, а также описать на ней все голоморфные векторные поля.

Голоморфная 1-форма в локальных координатах выглядит как $\omega = f(z)dz$, где $f(z)$ -- голоморфная функция. Дифференциал голоморфной функции это $df = \partial f + \partial \bar f = \partial f = \frac{\partial f}{\partial z}dz$, здесь $\partial \bar f = 0$ в силу условий Коши-Римана. Подставив это во внешний дифференциал 1-формы, получим, что она замкнута: $d \omega = df \wedge dz = 0$.

Дальше возникают трудности. Если ещё как-то показать, что она точна, то можно воспользоваться свойством голоморфной функции, состоящем в том, что если она достигает максимума во внутренней точке области определения, то она константа. А так как на чётномерных сферах нет непрерывного ненулевого векторного поля, то эта функция равна нулю на всей сфере, то есть 1-форма нулевая. Но как доказать точность формы? Или в моих рассуждениях есть ошибки и лучше решать иначе? Как быть с векторными полями -- следует ли из моего решения, что голоморфное поле только нулевое?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1116994 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать, что на римановой сфере нет голоморфных дифференциальных 1-форм, отличных от нулевой

Hasek в сообщении #1116994 писал(а):

Голоморфная 1-форма в локальных координатах выглядит как $\omega = f(z)dz$, где $f(z)$ -- голоморфная функция.

Тогда, например, $1\cdot dz$ - ненулевая голоморфная дифференциальная $1$-форма на сфере Римана.

[CptPwnage]

Вообще эти результаты следуют из большой (на самом деле не очень) теоремы Римана-Роха, что на Римановой поверхности рода $g$, степень канонического дивизора равна $2g-2$ (Простыми словами это суммарное число нулей и полюсов со степенями у голоморфной формы), в частности на сфере это $-2$, то есть у голоморфной формы всегда будут полюса. А про голоморфные поля можно сказать что они есть, но обязательно будут нули, например из теоремы о том что сумма индексов особых точек векторного поля равна эйлеровой характеристике, то есть $2$.
Без больших теорем можно попробовать в лоб. Возьмем две обычные карты, покрывающие сферу, две копии $\mathbb{C}$ с функцией перехода $w=1/z$. В первой карте форма выглядит как $f(z)dz$, а во второй будет $f(1/w) (-1/w^2) dw$. Вторая форма регулярна в окрестности $0$, значит $f=A w^2+B w^3+...$ но в $z$ координате это выражение не регулярно, когда $z=1/w$ близко к $0$. Для полей аналогично, только там другая замена переменных, которая даст что нам подходят все квадратичные поля, что нибудь в таком духе $(A+Bz+Cz^2) \frac{\partial}{\partial z}$

[Brukvalub]

CptPwnage в сообщении #1117005 писал(а):

Вообще эти результаты следуют из большой (на самом деле не очень) теоремы Римана-Роха, что на Римановой поверхности рода $g$, степень канонического дивизора равна $2g-2$ (Простыми словами это суммарное число нулей и полюсов со степенями у голоморфной формы), в частности на сфере это $-2$, то есть у голоморфной формы всегда будут полюса.

Из пушки не стОит бить по воробьям. Сфера Римана - компакт, голоморфная функция - непрерывна на этом компакте, а дальше - тривиальная т. Лиувилля.

[CptPwnage]

Но что именно это доказывает? Тор тоже компакт, но на нем ненулевая голоморфная форма есть

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1117006 писал(а):

Сфера Римана - компакт, голоморфная функция - непрерывна на этом компакте, а дальше - тривиальная т. Лиувилля.

Вы голоморфные функции с голоморфными формами случайно не путаете? На сфере Римана именно что все голоморфные 1-формы равны нулю, никаких констант. На эллиптической кривой есть форма $dz$ (если ее представить как фактор $\mathbb C$ по решетке). На гиперэллиптической кривой (поверхности рода 2), несмотря на компактность, пространство голоморфных 1-форм имеет размерность $>1$.

Brukvalub в сообщении #1117003 писал(а):

Тогда, например, $1\cdot dz$ - ненулевая голоморфная дифференциальная $1$-форма на сфере Римана.

Это не 1-форма на сфере Римана, поскольку вы ее не задали в окрестности бесконечности; легко проверить, что если попробовать переписать указанное выражение на второй карте, то там будет полюс в бесконечности.

[DeBill]

Brukvalub


Не совсем так: тор $\mathbb{C} / \mathbb{Z}$- тоже компакт, но форма $dz$ голоморфна...

-- 20.04.2016, 21:03 --

Ой, я уже третьим буду...

[Brukvalub]

Уже осознал.. Наступил на чужие грабли, сначала стал контрпримерить вот к этому высказыванию:

Hasek в сообщении #1116994 писал(а):

Голоморфная 1-форма в локальных координатах выглядит как $\omega = f(z)dz$, где $f(z)$ -- голоморфная функция.

, желая показать, что одного такого представления мало, а потом втянулся и сам начал лажать.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1117012 писал(а):

одного такого представления мало

По-моему, из контекста понятно, что речь не об одном представлении, а о любых голоморфных локальных координатах... Впрочем, уже без разницы.

Hasek в сообщении #1116994 писал(а):

А так как на чётномерных сферах нет непрерывного ненулевого векторного поля, то эта функция равна нулю на всей сфере, то есть 1-форма нулевая. Но как доказать точность формы?

Раз уж вы тут приплетаете теорему о непричесывании ежа, не проще ли сказать, что первые когомологии де Рама сферы равны нулю, поэтому любая замкнутая форма точна? Потому что теорема про ежа заведомо сложнее все равно.

На самом деле CptPwnage во втором абзаце привел стандартное элементарное решение, поэтому топологии здесь, действительно, не нужно.

[CptPwnage]

Можно кстати попробовать это довести до решения, голоморфная форма будет замкнута для обычного внешнего дифференциала, но когомологии нулевые, поэтому она есть внешний дифференциал от некоторой функции, которая легко видеть голоморфна. Но а они все константы

[Hasek]

CptPwnage в сообщении #1117005 писал(а):

В первой карте форма выглядит как $f(z)dz$, а во второй будет $f(1/w) (-1/w^2) dw$. Вторая форма регулярна в окрестности $0$, значит $f=A w^2+B w^3+...$ но в $z$ координате это выражение не регулярно, когда $z=1/w$ близко к $0$

Не могли бы Вы, пожалуйста, немного разъяснить это? Как я понимаю: форма $f(1/w) (-1/w^2) dw$ регулярна в окрестности нуля своего аргумента, то есть при очень больших $w$. Почему в разложении в ряд $f$ нет слагаемых с нулевой и первой степенью $w$ и ряд начинается сразу со второй степени? Почему если $\frac{1}{w}$ близко к нулю, то форма $f(z)dz$ в точке $z = \frac{1}{w}$ не регулярна?.. Ведь при замене $z = \frac{1}{w}$ её аргумент так же получается близок к нулю.

g______d в сообщении #1117018 писал(а):

Раз уж вы тут приплетаете теорему о непричесывании ежа, не проще ли сказать, что первые когомологии де Рама сферы равны нулю, поэтому любая замкнутая форма точна?

Не перепутаем ли мы так причину со следствием? Ведь первая группа когомологий де Рама по определению и есть факторгруппа всех замкнутых 1-форм по точным. То есть её равенство нулю следует из того, что все замкнутые формы оказываются точными, а не наоборот.

-- 20.04.2016, 21:30 --

Извините, невнимательно прочёл. Вы пишите про нерегулярность выражения для $f$ в других координатах, а не другой формы. Но мне всё равно непонятно, как Вы получили такой ряд для $f$.

[g______d]

Hasek в сообщении #1117025 писал(а):

Ведь первая группа когомологий де Рама по определению и есть факторгруппа всех замкнутых 1-форм по точным. То есть её равенство нулю следует из того, что все замкнутые формы оказываются точными, а не наоборот.

У того факта, что первая группа когомологий равна нулю, есть независимое доказательство в курсе дифференциальной топологии; и оно проще, чем векторные поля на сферах.

[CptPwnage]

Поясняю.

В $z$ координате форма имеет вид $f(z) dz$, когда переходим в $w$, получаем форму вида $g(w)(-1/w^2) dw$ Где $g(w)=f(1/w)$ и это происходит там, где карты пересекаются, то есть $w \neq 0$ И $z\neq0$. Нам дано что форма голоморфна, значит вот это выражение в $w$ Карте как-то продолжается в $0$. Но это возможно только в случае если $g(w)$ как-то сокращает то деление на $w^2$, дальше по тексту

[Brukvalub]

Вот еще один, возможно, самый короткий способ доказать, что все голоморфные дифференциалы на сфере Римана - нулевые:
1. Сфера - поверхность рода $0$ (Фаркаш и Кра, стр. 17),
2. Размерность линейного пространства голоморфных дифференциалов на компактной Римановой поверхности равна ее роду (Фаркаш и Кра, стр. 60).

[Hasek]

CptPwnage, разобрался, спасибо!