Непрерывные отображения из "дырявого" диска в себя

[Hasek]

Существует ли непрерывное отображение без неподвижных точек замкнутого диска $D^2$ с $k \in \mathbb{N}$ удалёнными непересекающимися дисками из внутренности $D^2$ в себя?

При $k=1$ несложно придумать пример, что существует: давайте удалим диск из центра исходного и повернём его вокруг своей центральной точки, такое отображение в себя непрерывно и неподвижных точек не имеет. А как рассуждать в общем случае?

[Brukvalub]

А если остальные требуемые дырки разместить так, чтобы при некотором повороте они переходили друг в друга?

[DeBill]

Эта задача была в одном из первых номеров мат. просвещения.
Интересный случай $k=2$ (для остальных задача уже решена Hasek
и Brukvalub
).
Можно еще посмотреть варианты этой задачи:
а) на себя
б) на себя, чтобы граница большого диска переходила в себя
в) на себя, чтобы границы дисков переходили друг в друга в предписанном порядке

[Hasek]

Если я правильно понял, то при $k=2$ такого отображения нет. По теореме Шаля любое движение плоскости это либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая или скользящая симметрия. Собственно, ничего из этого вроде бы не подходит.

[Someone]

Hasek в сообщении #1117111 писал(а):

Если я правильно понял, то при $k=2$ такого отображения нет.

Ну почему нет? Просто не надо зацикливаться на

Hasek в сообщении #1117000 писал(а):

давайте удалим диск из центра исходного

-- Чт апр 21, 2016 01:08:49 --

(Оффтоп)

P.S. Эх, какие у Вас номера сообщений получились!

[slavav]

Hasek в сообщении #1117111 писал(а):

Если я правильно понял, то при $k=2$ такого отображения нет. По теореме Шаля любое движение плоскости это либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая или скользящая симметрия. Собственно, ничего из этого вроде бы не подходит.

Теорема Шаля про движения, а ваша задача про непрерывные отображения. Или вы знаете какую-то связь?

-- 21.04.2016, 01:37 --

Удаляемые диски замкнутые? Если нет, то для $k = 2$ мы имеем сферу с тремя дырками, которые можно произвольно переставлять.

[Someone]

Someone в сообщении #1117117 писал(а):

Ну почему нет?

Хм… Ничего очевидного не вижу.

[Hasek]

Someone в сообщении #1117117 писал(а):

Ну почему нет?

Придумал! Давайте будем удалять диски с диаметром, равным радиусу исходного, и разместим их "восьмёркой" друг над другом. Тогда отображением в себя без неподвижных точек будет осевая симметрия относительно диаметра, проходящего внутри этих дисков.
P.S. Правда они пересекаются по одной точке -- центру, что вроде как запрещается условием.

slavav в сообщении #1117121 писал(а):

Удаляемые диски замкнутые?

Я так понимаю, что замкнутые, как и сам большой диск, то есть из него удаляются его же маленькие копии. Но согласен, что чётко это в условии не сказано, может в этом и состоит лазейка.

[g______d]

Если удаляются замкнутые, то, по-моему, всё просто:

Hasek в сообщении #1117159 писал(а):

Придумал! Давайте будем удалять диски с диаметром, равным радиусу исходного, и разместим их "восьмёркой" друг над другом. Тогда отображением в себя без неподвижных точек будет осевая симметрия относительно диаметра, проходящего внутри этих дисков.
P.S. Правда они пересекаются по одной точке -- центру, что вроде как запрещается условием.

На границе же есть неподвижные точки?

[slavav]

Hasek в сообщении #1117159 писал(а):

slavav в сообщении #1117121 писал(а):

Удаляемые диски замкнутые?

Я так понимаю, что замкнутые, как и сам большой диск, то есть из него удаляются его же маленькие копии. Но согласен, что чётко это в условии не сказано, может в этом и состоит лазейка.

Кажется, да.
Одну дыру вырежем из центра диска. Вторую дыру вырежем в любом месте диска. Отображение конструируется так: точки перемещаются по концентрическим окружностям. Каждую окружность параметризуем естественным параметром (длиной дуги). Все параметры возрастают против часовой стрелки. Точку перемещаем вдоль окружности добавляя к её исходному параметру слагаемое пропорциональное расстоянию от точки до границы второй дыры в $\mathbb{R}^2$. Коэффициент пропорциональности должен быть небольшим.
Про это отображение можно доказать три факта:
1. Все окружности (без кусков попавших во вторую дыру) переходят сами в себя.
2. На каждой окружности нет неподвижных точек.
3. Всё отображение непрерывно и даже гладко.

Здесь я сильно использовал отсутствие границы у второй дыры. Если продолжить отображение на эту границу, то окажется, что граница вся неподвижна.

[DeBill]

Удалять следует открытые диски (чтоб осталось замкнутое - компактное) - а то неинтересно. Т.е., мы хотим построить контрпримеры к теореме Брауэра, показывающие существенность условия односвязности (шара)

[sup]

Может я чего-нибудь не понял? Пример то элементарный. Круг в центре дырка. Кроме нее могут быть еще. Сначала весь этот дырявый диск отображаем на границу диска (проекция). Граница при этом отображении "неподвижна". А затем эту границу повернем. Неподвижные точки могут быть только на границе диска. Но там их, очевидно, нет.

[Someone]

sup в сообщении #1117207 писал(а):

Сначала весь этот дырявый диск отображаем на границу диска (проекция).

И правда! В условии ведь написано "непрерывное отображение", а мы все почему-то упёрлись в гомеоморфизм.

[DeBill]

А, нашел. Задача предлагалась (для 2-х дырок) в выпуске 8 (автор - Концевич), "в".
Но в одном из последующих номеров была поправка: надо "на".

[sup]

Ну и "на" тоже не шибко сложно.
Пусть у нас есть кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним 4. И в нем еще ма-а-аленькая дырка ближе к периферии. Повернем это кольцо на 180 градусов, "сложим пополам" и накроем кольцо половинной ширины с радиусами 2 и 3. Ну а затем это узкое кольцо начинаем "раздувать" по радиусам, пока не накроем все исходное кольцо. Там придется еще маленькую дырку объехать, но это не проблема.
Наверное более содержательная задача возникает для гомеоморфизма.