Решить систему уравнений

[Cynic]

Подскажите верно ли я решил систему уравнений:
$ \[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \operatorname{arctg} (x) + arctg(y) < \frac{\pi }{2} \hfill \\ \operatorname{arctg} (x) + arctg(y) > - \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ 1){\text{ }}\operatorname{arctg} (x) < \frac{\pi }{2} - \operatorname{arctg} (y) \hfill \\ x < \operatorname{tg} \left( {\frac{\pi }{2} - \operatorname{arctg} \left( y \right)} \right) = ctg\left( {\operatorname{arctg} \left( y \right)} \right) = \frac{1}{{tg\left( {arctg\left( y \right)} \right)}} = \frac{1}{y} \hfill \\ xy < 1 \hfill \\ 2){\text{ }}\operatorname{arctg} (x) > - \frac{\pi }{2} - \operatorname{arctg} (y) \hfill \\ arctg(y) = 0,x \in R \hfill \\ arctg(y) < 0,x \notin R \hfill \\ 3){\text{ Ответ }}:xy < 1 \hfill \\ \end{gathered} \] $

[provincialka]

Во-первых, это система неравенств, а не уравнений. А с неравенствами не всегда можно обращаться так же вольно, как с равенствами.
Например, неравенства $x<1/y$ и $xy<1$ не равносильны.

-- 20.04.2016, 12:48 --

Второй пункт вообще странный. Почему $\arctg(y) < 0,x \notin R \hfill $? Вообще оба неравенства совершенно одинаковые,получаются друг из друга заменой $x,y$ на $-x,-y$.

[Cynic]

provincialka в сообщении #1116869 писал(а):

Во-первых, это система неравенств, а не уравнений. А с неравенствами не всегда можно обращаться так же вольно, как с равенствами.
Например, неравенства $x<1/y$ и $xy<1$ не равносильны.

-- 20.04.2016, 12:48 --

Второй пункт вообще странный. Почему $\arctg(y) < 0,x \notin R \hfill $? Вообще оба неравенства совершенно одинаковые,получаются друг из друга заменой $x,y$ на $-x,-y$.

1) Почему не равносильны? О значениях $x$ и $y$ ни чего неизвестно.
2) Потому что $\[ - \frac{\pi }{2} < arctg(x) < \frac{\pi }{2}$

[Someone]

Cynic в сообщении #1116879 писал(а):

1) Почему не равносильны? О значениях $x$ и $y$ ни чего неизвестно.

Потому и не равносильны, что ничего не известно.

[provincialka]

Опередили ... ну, отошлю свою реплику:

Cynic в сообщении #1116879 писал(а):

Почему не равносильны? О значениях $x$ и $y$ ни чего неизвестно.

Вот потому и не равносильны! Что "ничего не известно", в частности, неизвестен знак. Возьмите, например, $x=-2, y=-1$. Какие из ваших неравенств выполняются?

Про второй пункт. Я догадываюсь, в каких пределах меняется арктангенс . Из неравенства $ - \frac{\pi }{2} < \arctg(y) < \frac{\pi }{2}$ следует, что $ -\pi < -\frac\pi2-\arctg(y) < 0$. И что? Разве $\arctg x$ не может принимать такие значения?

-- 20.04.2016, 13:16 --

Кстати, пишите \ перед обозначениями функций, лучше вид будет. И модераторы не рассердятся.

[Cynic]

Цитата:

Вот потому и не равносильны! Что "ничего не известно", в частности, неизвестен знак. Возьмите, например, $x=-2, y=-1$. Какие из ваших неравенств выполняются?

Цитата:

Про второй пункт. Я догадываюсь, в каких пределах меняется арктангенс. Из неравенства $ - \frac{\pi }{2} < \arctg(y) < \frac{\pi }{2}$ следует, что $ -\pi < -\frac\pi2-\arctg(y) < 0$. И что? Разве $\arctg x$ не может принимать такие значения?

1) Из неравенства $ - \frac{\pi }{2} < \arctg(y) < \frac{\pi }{2}$ следует, что $ -\pi < -\frac\pi2+\arctg(y) < 0$
2) Согласен при $\[\arctg(y) < 0,x \in R\]$, если рассматривать только главное значение арктангенса

Ну и как тогда решать такую систему неравенств?

[provincialka]

Cynic
Мало ли! Можно довести до ума первый пункт (там немного осталось) и использовать, что

provincialka в сообщении #1116869 писал(а):

оба неравенства совершенно одинаковые,получаются друг из друга заменой $x,y$ на $-x,-y$.

Или "формулу сложения" для арктангенсов поискать/придумать.

[Cynic]

provincialka в сообщении #1116909 писал(а):

Cynic
Мало ли! Можно довести до ума первый пункт (там немного осталось) и использовать, что

provincialka в сообщении #1116869 писал(а):

оба неравенства совершенно одинаковые,получаются друг из друга заменой $x,y$ на $-x,-y$.

Или "формулу сложения" для арктангенсов поискать/придумать.

Ну со вторым неравенством всё понятно.
Первое решил так:

$x < \frac{1}{y}$

$x > 0,y > 0$

$xy < 1$

$x > 0,y < 0$

$x < > \frac{1}{y}$ (не выполняется при любых $x$ и $y$)

$x < 0,y < 0$

$x < \frac{1}{y}$

$xy > 1$

$x < 0,y > 0$

$x < \frac{1}{y}$ (выполняется при любых $x$ и $y$)

Правда заранее известно, что ответ такой не верен должно быть $xy < 1$

[provincialka]

Можно ещё так попробовать, методом интервалов областей. Посмотрите, в каких точках плоскости сумма арктангенсов равна $\pi/2$ и $-\pi/2$. Получите линии, делящие плоскость на 3 части.

-- 20.04.2016, 15:36 --

У вас первый пункт решен тоже неверно! Это видно хотя бы по тому, что результат должен быть симметричным относительно $x,y$.
Кстати, ошибка спрятана довольно хитро! Буду использовать этот пример в обучении школьников.

[Cynic]

provincialka в сообщении #1116935 писал(а):

Можно ещё так попробовать, методом интервалов областей. Посмотрите, в каких точках плоскости сумма арктангенсов равна $\pi/2$ и $-\pi/2$. Получите линии, делящие плоскость на 3 части.

-- 20.04.2016, 15:36 --

У вас первый пункт решен тоже неверно! Это видно хотя бы по тому, что результат должен быть симметричным относительно $x,y$.
Кстати, ошибка спрятана довольно хитро! Буду использовать этот пример в обучении школьников.

В каком месте то хоть ошибка? В последнем посте?

[provincialka]

В первом посте.
Ошибка в применении тангенса к неравенству. А тангенс -- не монотонная функция!

[Cynic]

provincialka в сообщении #1116971 писал(а):

В первом посте.
Ошибка в применении тангенса к неравенству. А тангенс -- не монотонная функция!

Правильно ли я понял:
Когда я беру $x < \tg\left( {\frac{\pi }{2} - \arctg y\right)$, то такой ответ будет верен только для промежутка $\[\left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\]$, а для значений арктангенса меньше $\[{ - \frac{\pi }{2}}\]$, $x$ может быть любым числом. Собственно поэтому и нельзя брать тангенс в данном месте.

[provincialka]

Да. То есть "брать тангенс" можно, но с той поправкой , которую вы высказали.