Системы счисления с иррациональным основанием

[Sirion]

Недавно наткнулся на факт, что в системе счисления с основанием $\Phi=\frac{\sqrt{5}+1}2$ и цифрами {0, 1} можно любое натуральное число выразить конечным количеством ненулевых цифр. Допустим, $2 = (10,01)_\Phi$, т.е. $2 = 1\cdot\Phi^1 + 1\cdot\Phi^{-2}$. Меня заинтересовало, насколько много иррациональных чисел могут послужить основанием для системы счисления, удовлетворяющей этому условию. Ну, то есть, понятно, что их бесконечно много (хотя и не больше, чем алгебраических чисел), меня интересует, как найти их все.

Если ответ на этот вопрос известен и/или очевиден, подскажите мне, пожалуйста.

[grizzly]

Посмотрите аннотацию к этой статье. Там, правда, только два семейства найдены -- ну хоть что-то.

[DeBill]

А единственности то представления - нету:
$x^2=1+x$

[Sirion]

grizzly в сообщении #1116895 писал(а):

Посмотрите аннотацию к этой статье. Там, правда, только два семейства найдены -- ну хоть что-то.

Благодарю премного.
upd: Не дают смотреть =(

DeBill в сообщении #1116906 писал(а):

А единственности то представления - нету:
$x^2=1+x$

Ну, это ещё нужно проверить, что записи натуральных чисел могут иметь перед запятой 011.
upd: Хотя о чём это я, уже тройка имеет две записи.

[Brukvalub]

Sirion в сообщении #1116911 писал(а):

upd: Не дают смотреть =(

Нужно жимкнуть мышкой на картинку с обложкой журнала в левой колонке, тогда сезам откроется.

[grizzly]

Sirion в сообщении #1116911 писал(а):

upd: Не дают смотреть =(

Ну я кроме аннотации на стр. 154 ничего не обещал :) Отдельно статью я не нашёл.

Sirion в сообщении #1116911 писал(а):

upd: Хотя о чём это я, уже тройка имеет две записи.

Отсутствие единственности -- распространённая проблема любой позиционной системы исчисления. Здесь в так называемой "стандартной форме" запрещено использовать последовательность "11".

[Евгений Машеров]

Причём это рассматривается не как баг, а как фича. Скажем, для ЦАП/АЦП или для исполнительных механизмов с поразрядным управлением - не возникает большого количества единиц, так что ни электричества в цепи питания, ни масла в гидроприводе не требуется слишком много;)

(Оффтоп)

А ещё есть "волны Эллиотта" и "уровни Фибоначчи" в биржевом "техническом анализе", с амплитудами, различающимися на соседних уровнях в $\phi\approx 1.618\cdots$ раз. И успех объяснения любого рыночного колебания "волнами Эллиотта", возможно, связан с тем, что не бывает много единиц подряд, то есть у того, кому объясняют, возникает ощущение, что это объяснение, и даже прогноз, а не просто подгонка.