УМФ, нахождение общего решения

[Ubermensch]

Привет.
Хочу научиться решать такие уравнения.
Правильно ли я решаю? И правильно ли я рассуждаю.

$U_{xy}-xU_{x}+U=0$
Уравнение у нас уже в каноническом виде.
Сделаем замену.
$U_x = v $, тогда $U_{xy} = v_x$.
Имеем: $v_y-xv+U=0$.
Так как $U = xv-v_y$ и $U_x = v$, то первое уравнение продифференцируем по $x$ и подставим в него второе уравнение: $v = v +xv_x-v_{xy}$.
После сокращения на $v$ имеем: $xv_x-v_{xy}=0$.
Сделаем еще одну замену: $w=v_x$. Имеем: $w_y-xw = 0$. Это уравнение сводится к ОДУ с разделяющимися переменными: $\frac{dw}{w}-xdy=0$.
Имеем решение $w=0$. Если $w$ не $0$, то проинтегрируем и получим: $\ln|w|=xy+\ln|C(x)|$. Вот здесь не понимаю, почему $C_1(x)$. Как знать, когда от чего зависит $C$.
Имеем: $w=e^{xy}C(x)$.
Сделаем обратную замену: $v_x=e^{xy}C(x)$.

Дальше нужно найти интегрирующий множитель, умножить на него это уравнение, проинтегрировать и потом разделить на инт. множитель? Если да, то можно объяснить доступно, зачем?
Если нет, то хотелось бы узнать, в каких случаях нужен инт. множитель, а в каких нет?

[DeBill]

Ubermensch в сообщении #1116779 писал(а):

Имеем: $w_y-xw = 0$

Вы обращаетесь с этим уравнением как с ОДУ. Ну и прекрасно: $x$ и $y$ - независимые перменные, все хорошо. Дале, интегрируете (молчаливо предполагая, что $x$ - константа). Но уравнения то - для разных $x$ - разные. Так что и константа интегрирования - для разных уравнений - должна быть "разная" - т.е., должна зависить от $x$.

Ubermensch в сообщении #1116779 писал(а):

Дальше нужно найти интегрирующий множитель

Вот именно - ЗАЧЕМ? Интегрирующий множитель используют для того, чтобы некое сложное выражение, содержащее неизвестную функцию и ее производную можно было трактовать как производную чего то там другого - что позволит далее упростить уравнение. Но здесь то уже все готово: полученный дифур

Ubermensch в сообщении #1116779 писал(а):

: $v_x=e^{xy}C(x)$.

- опять же ОДУ, причем самого простейшего вида....(но константа интегрирования теперь будет зависить от $y$ !).
Ну, и еще один шаг - и все получится...

[Ubermensch]

Спасибо! С константами интегрирования разобрался более-менее. Только еще не разобрался, что будет, если мы перед этим приводили уравнение к КВ с помощью замен $\xi, \eta$. Они ведь в свою очередь тоже зависят от $x$, $y$.

По поводу дальнейшего решения.
Сейчас смотрю в методичку, там вместо $C(x)$ появляются $C_1(\xi)$. Непонятно, откуда здесь $\xi$ может нарисоваться.

-- 19.04.2016, 23:46 --

И в этом же интеграле мы интегрируем по $x$. Но от $x$ зависит $e$ и $C(x)$.

[Ubermensch]

Помогите, пожалуйста, решить.

[Someone]

Ubermensch в сообщении #1116779 писал(а):

Вот здесь не понимаю, почему $C_1(x)$. Как знать, когда от чего зависит $C$.

Интегрируете по $y$, поэтому "постоянная интегрирования" от $y$ зависеть не может. Зато от всех остальных координат вполне может зависеть. У Вас "все остальные координаты" — это $x$. Вот от него и зависит.

Ubermensch в сообщении #1116786 писал(а):

Только еще не разобрался, что будет, если мы перед этим приводили уравнение к КВ с помощью замен $\xi, \eta$. Они ведь в свою очередь тоже зависят от $x$, $y$.

Сделать обратную замену: выразить $x$ и $y$ через $\xi$ и $\eta$ и подставить в полученное решение.

Ubermensch в сообщении #1116820 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить.

А в чём, собственно говоря, проблема?

[Ubermensch]

Дальше я про интегрировал $v= \int e^{xy}C_1(\xi)d \xi + C_2(y).$ мне сказали, что это неправильно и дописали $u=xv-v_y$. Ломаю голову, к чему это? И почему здесь $\xi$

[mihiv]

Ubermensch, если Вы имеете дело с простейшим ДУ вида $y'=f(x)$, то его общее решение можно записать как $y(x)=\int f(x)dx$, где правая часть это символическое обозначение выражения $F(x)+C$, а $F(x)$-это какая-то конкретная первообразная функции $f(x), C-$произвольная постоянная. В свою очередь эту первообразную можно записать в виде: $F(x)=\int \limits _a^xf(\xi )d\xi $, то есть как определенный интеграл с переменным верхним пределом. Ваше $\xi $ и есть переменная интегрирования в этом определенном интеграле, ее можно было обозначить и любой другой буквой. После того, как найдена функция $v$, функцию $U$ можно проще всего найти по формуле $U=xv-v_y$.

[DeBill]

Ubermensch в сообщении #1116845 писал(а):

$v= \int e^{xy}C_1(\xi)d \xi + C_2(y).$ мне сказали

Здесь - ашипка: надо $e^{y \xi}$