Доказать неограниченность вариации недифференцируемой функци

[dimanet]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста доказать неограниченность вариации функции Вейрштрасса $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a^n \cos(b^n \pi x)$ на $[0,1]$, где $0 < a <1$ и $b$ -- нечетное целое число.

Делю отрезок $[0,1]$ точками $0 < \frac{1}{b^n} < \cdot \cdot \cdot < \frac{1}{b} < 1$

Для начала оцениваю разность в точках $\frac{1}{b^m}$ и $\frac{1}{b^{m+1}}$:

$$\left| \sum_{n=0}^{\infty}a^n \cos(b^{n-m} \pi) - \sum_{n=0}^{\infty}a^n \cos(b^{n-m-1} \pi)\right| = \left| \sum_{n=0}^{m}a^n \big( \cos(b^{n-m} \pi)-\cos(b^{n-m-1} \pi) \big) \right|$$

Разности с индексом больше $m$ обнуляются, а конечная сумма получается ограниченной. Что делать?

Можно также рассмотреть разности значений функции на концах отрезков вида $[\frac{j}{b^m}, \frac{j+1}{b^m}]$, и разбивать отрезок увеличением $m$, он поможет ли мне это?

Подскажите пожалуйста как можно провести доказательство подобным путем. Спасибо.

[DeBill]

dimanet в сообщении #1116655 писал(а):

он поможет

Поможет.
Но есть одно НО:
Если, например, $b=5, a= 0.1$, то ряд для первых производных сходится равномерно. Потому сумма исходного ряда - дифференцируема, с непрерывной производной, так что вариация будет ограниченной.....
Мораль: надо бы требовать что-то вроде $ab>1$... И вот тогда - поможет .

[mihailm]

Она ж нигде не дифференцируема (при замечании DeBill)

[dimanet]

Да, именно при таком условии $ab > 1$. Просто забыл указать это условие. Спасибо, буду пробовать второе разбиение. А еще вопрос:

ряд $\sum_{n = 0}^{\infty} \pi (ab)^n \sin(b^n \pi x)$, составленный из производных членов исходного ряда, расходится потому что признак Вейерштрасса не выполняется? Можно ж так обосновать? А то преподаватель сказал, что из-за знаконепостоянства нельзя просто так сказать.

Спасибо.

[Brukvalub]

dimanet в сообщении #1116705 писал(а):

ряд $\sum_{n = 0}^{\infty} \pi (ab)^n \sin(b^n \pi x)$, составленный из производных членов исходного ряда, расходится потому что признак Вейерштрасса не выполняется?

А этот признак выражает необходимое условие сходимости?

[dimanet]

Ах, точно, нет. В данном случае он просто не выполняется, я понял. То есть можно просто применить необходимый признак сходимости, ведь члены ряда не стремятся к нулю. Но если он абсолютно не сходится, то он же может сходиться и условно при некоторых значениях $x$? Верно? Мне очень надо уточнить. Надо доклад подготовить.

[mihailm]

Думаете ряд $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$ сходится/представляет функцию неограниченной вариации?

[dimanet]

Расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Хотя, в нуле должен сходиться. К нулю.

[mihailm]

Функцию Вейерштрасса думаю пока рановато трогать

[dimanet]

Ну, уже тронул.

[DeBill]

dimanet
Сходимость (равномерная) ряда из производных позволяет получить дифференцируемость суммы ряда.
Так что для Вашей задачи (рпи условии $ab>1$) производная нам никак не поможет: ряд расходится. Однако из расходимости ряда еще нельзя сделать вывод об отсутствии производной.
Так что и не трогайте ее: я писал о ней лишь для того, чтобы показать необходимость пропущенного условия.
При наличии его: делайте ровно так, как и собирались с самого начала - (второй вариант). А вот после того, как получите неограниченность вариации, можно уже пытаться доказывать и недифференцируемость функции Вейерштрасса во всех точках (непрерывность ее следует из равномерной сходимости ряда).
Может, полезным будет рассмотреть разность $W(x) - aW(bx)$....

[dimanet]

Мне для численных примеров нужно оценить последовательность интегралов $\int_{0}^{1}\sqrt{(1+(\sum_{n=0}^{m}(ab)^n \pi \sin(b^n \pi x)^2)}}dx$. Могу ли я использовать необходимый признак сходимости ряды производных (вернее его расходимость), чтобы обосновать то, что последовательность интегралов возрастает? Мне это нужно для того, чтоб на этом примере показать бесконечную длину кривой графика на [0, 1].

Простите, если сумбурно. Совсем под нось каша в голове.

Спасибо!

[mihaild]

dimanet
Нет, не можете (по крайней мере напрямую - $\int f_m(x) \,dx$ через $f^\prime_m$ не оценивается).
У вас квадрат над синусом или над аргументом синуса? Если первое - то попробуйте посмотреть, как ведет себя подынтегральное выражение в каждой точке с ростом $m$. Если второе - то под корнем при некоторых значениях может быть отрицательное число.

[dimanet]

Над синусом. Тогда посмотрю еще. Спасибо.