Незадача с задачей о лыжниках

[Ktina]

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
(Авторы: Волченков С.Г., Богданов И.И.)

Авторское решение подразумевает, что лыжник, стартовавший первым, и лыжник, стартовавший последним, не могли притти к финишу одновременно. А где сказано, что они не могли?

Я предлагаю своё решение:
Пусть каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах.
Рассмотрим самого быстрого лыжника, а если таковых несколько, то того из них, кто стартовал раньше. Пусть он будет Вася. Этот Вася обязан обогнать всех, кто стартовал раньше него. С другой стороны, его никто не может обогнать. Из этого следует, что Вася мог стартовать только пятым по очереди. Однако из аналогичных соображений следует, что и самый медленный лыжник (а если таких несколько, то тот из них, кто стартовал позже) тоже мог стартовать только пятым по очереди. Выходит, самый быстрый и самый медленный - одно и то же лицо, а это значит, что у всех скорости одинаковы. Но тогда никто никого вообще не обогнал. Мы пришли к противоречию, доказывающему, что каждый лыжник не мог участвовать ровно в четырёх обгонах.

У меня ошибка или у авторов задачи?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[mihaild]

Ktina в сообщении #1116492 писал(а):

Этот Вася обязан обогнать всех, кто стартовал раньше него

Совершенно необязательно. Например, он мог стартовать уже после того, как все остальные доехали.

[Ktina]

mihaild
Не мог, так как в этом случае он никого бы не обогнал.

[mihaild]

Ktina в сообщении #1116495 писал(а):

mihaild
Не мог, так как в этом случае он никого бы не обогнал.

Да, но вы не пользовались тем, что он обогнал 4х, когда доказывали, что он "обогнал всех, кто стартовал раньше него".

[svv]

Ну, так не мог, а почему всё-таки он обязан обогнать именно всех стартовавших ранее?
Берём и перед этим самым быстрым (пускай он стартовал пятым) вставляем ещё одного лыжника, который лишь на волосок медленнее, так, что они не встречаются. Теперь самый быстрый — шестой. Что нарушается?

[NSKuber]

Если под "cамым быстрым" подразумевать приехавшего первым, то ваши рассуждения проходят.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #1116492 писал(а):

Авторское решение подразумевает, что лыжник, стартовавший первым, и лыжник, стартовавший последним, не могли притти к финишу одновременно. А где сказано, что они не могли?

А где сказано, что авторское решение подразумевает, что не могли одновременно?

[Sender]

TOTAL в сообщении #1116535 писал(а):

А где сказано, что авторское решение подразумевает, что не могли одновременно?

Скорее, это следует из авторского решения, поскольку, если предположить, что последний не обгонял первого, то множество лыжников, обогнанных последним, и множество лыжников, обогнавших первого, с неизбежностью пересекаются.

[gris]

Мне пришла в голову геометрическая интерпретация задачи, которая вытекает из графиков движения лыжников. Можно даже кое-что отбросить из физического смысла. Короче: девять отрезков начинаются в разных точках первой из двух параллельных прямых и кончаются на второй. Может ли каждый отрезок пересекать ровно четыре других во внутренних точках. Не знаю, можно ли опустить условие начинания в разных точках.

Частный случай естественного обобщения звучит так: может ли каждый из трёх отрезков пересекать ровно один другой во внутренних точках? Очевидный ответ: нет. По индукции с шагом два заключаем, что и первоначальная задача имеет ответ: нет.

[svv]

gris в сообщении #1116647 писал(а):

Не знаю, можно ли опустить условие начинания в разных точках.

Я думаю, можно. Можно считать, что отрезки — это прямые, а пересечения считаются только от линии старта до линии финиша. Если два лыжника пересекаются точно на линии старта, а всё остальное в порядке, можно чуточку отодвинуть линию старта, и их пересечение станет внутренним.

[sng1]

Авторское решение надо было записать чуть более аккуратно. Первый пришел пятым или может делить пятое и последующие места, а последний пришел пятым или может делить пятое и предыдущие места. Противоречие.

[melnikoff]

А по-моему авторское решение не предполагает, что лыжник, стартовавший первым, и лыжник, стартовавший последним, не могли притти к финишу одновременно.
Я бы записал решение так. Лыжника, стартовавшего первым, обогнали 4 конкурента и он вышел (окончательно) на 5-е место. Позади него осталось 4 лыжника, в том числе и тот, который стартовал 9-м. А 9-й по условию должен был обогнать четверых лыжников, но он мог обогнать только тех, которые остались позади 5-го, то есть максимум троих. Противоречие.