Несобственный интеграл с параметром. При каких a сходится?

[carlsagan]

Задача:
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1-it^2}{1+it^2} t^{-\alpha} dt$ , при каких $\alpha$ сходится?

Мое решение:
Если несобственный интеграл на промежутке $[1,\infty]$ сходится абсолютно, то он и подавно сходится.

$\left\lvert \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1-it^2}{1+it^2} t^{-\alpha} dt \right\rvert \leqslant \int\limits_{1}^{\infty} \left\lvert \frac{1-it^2}{1+it^2} t^{-\alpha} dt \right\rvert = \int\limits_{1}^{\infty} \left\lvert t^{-\alpha} \right\rvert dt$

Интеграл сходится абсолютно при $\alpha > 1$, следовательно при этом же условии интеграл сходится.

Верно (корректно) ли решение , если нет, то каким способом решить?

[Vince Diesel]

Этим рассуждением покрывается только случай $\alpha>1$. Что насчет $\alpha\le1$?

[carlsagan]

При $\alpha\leqslant 1$ интеграл расходится, так как по признаку сравнения $f(z) = O \ast \frac{1}{z^p}$ не выполняется условие сходимости $p>1$ .

[Vince Diesel]

Ваша запись

carlsagan в сообщении #1116489 писал(а):

$f(z) = O \ast \frac{1}{z^p}$

нестандартна как минимум Признак сравнения тут полезен, но с ним надо поаккуратнее. Для каких подинтегральных функций он применим? Вот, например, $\frac{\sin x}x=O(x^{-1})$ при $x\to\infty$, а интеграл от этой функции на $[1,\infty)$ сходится.

[carlsagan]

Для неотрицательных и, полагаю, монотонных. Насчет последнего не уверен.

[carlsagan]

Тут я просто ничего кроме признака сравнения не вижу.
Годится ли в случае $\alpha\leqslant1$ обоснование с помощью признака сравнения?

-- менее минуты назад --

На счет моего обозначения согласен, вспомнился Демидович

[Otta]

Трудно ответить, пока нет обоснования. То, что было выше, им не является. Я эдак могу и тождественно нулевую функцию под интегралом оценить сверху как $O(1/x)$. И делать вывод, что интеграл от нуля расходится.
Попробуйте еще.

[Brukvalub]

Возможно, решение пойдет бойчее, если сначала отделить вещественную и мнимую части, после чего исследовать их на сходимость по отдельности.

[carlsagan]

Brukvalub

Разбиваю:

$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{dt}{t^\alpha (1+t^4)} dt - \int\limits_{1}^{\infty} \frac{t^4}{t^\alpha (1+t^4)} - 2 i \int\limits_{1}^{\infty} \frac{t^2}{t^\alpha (1+t^4)}$$

Первый интеграл сходится при $\alpha > -3$, второй при $\alpha > 1$, третий $\alpha > -1$. Тогда весь интеграл сходится при $\alpha > 1$.

Снова то же самое.

[provincialka]

carlsagan
Вам велели только отделить вещественную часть от мнимой (они должны обе сходится в сходящемся интеграле). А зачем вы вещественную часть на два интеграла разбиваете? Это опасное преобразование! Не забывайте про $\infty-\infty$.