Найти показатель степени матрицы

[serval]

Дано равенство:

$e_1 (A_2^T)^2 A_1^m A_1^{-1}e^1=e_1 A_2^T (A_1^m)^m A_1^{-1}e^1$

где

$A_1,A_2$ - квадратные матрицы ранга 3, их явный вид известен;
$e_1,e^1$ - первый орт, строка и столбец соответственно;
значение $m^2$ задано.

Можно ли из данного равенства найти значение $m$ ?

[arseniiv]

Давайте я перепишу меньшим количеством букв:

$$v^{\mathsf T}B^2A^{m-1}v = v^{\mathsf T}BA^{m^2-1}v,$$

где $v$ — какой-нибудь данный вектор. $e_1$ ему быть не обязательно, транспонированность одной из матриц тоже никакой роли не играла.

Ещё вы не сказали, над каким всё это полем. Или над любым?

[Xaositect]

serval в сообщении #1116241 писал(а):

Можно ли из данного равенства найти значение $m$ ?

Очевидно, не всегда, например, при $A_1 = E$ ничего не получится.

[serval]

arseniiv в сообщении #1116338 писал(а):

над каким всё это полем. Или над любым?

Все числа - натуральные.

Xaositect в сообщении #1116344 писал(а):

при $A_1 = E$ ничего не получится

$A_1 \neq E, A_2 \neq E$

[venco]

serval в сообщении #1116241 писал(а):

...
значение $m^2$ задано.

Можно ли из данного равенства найти значение $m$ ?

$m=\pm\sqrt{m^2}$

[serval]

venco в сообщении #1116403 писал(а):

$m=\pm\sqrt{m^2}$

Разумеется. Можно ли его вычислить пользуясь приведённым мной равенством?

[Xaositect]

serval в сообщении #1116402 писал(а):

Xaositect в сообщении #1116344 писал(а):

при $A_1 = E$ ничего не получится

$A_1 \neq E, A_2 \neq E$

То же самое при $A_1 e^1 = e^1$.

[serval]

Xaositect в сообщении #1116412 писал(а):

$A_1 e^1 = e^1$.

$A_1 e^1 \neq e^1$

Пожалуйста, не тратьте время на изобретение экзотики - здесь её нет.

[arseniiv]

serval
Определите тогда сразу, какие частные случаи вы считаете экзотикой. А то они ведь не отмечены никак в общем случае.

[mihaild]

А вы не хотите сразу все условия выписать?
$A^{-1}e_1 = -e_1, Be_1 = e_1, m^2 = 1$ (если я нигде не обсчитался)

[venco]

Если вы не хотите давать ваши "известные" матрицы, то в общем виде, используя спектральное разложение матрицы $A_1$, уравнение можно свести к:
$\sum\limits_i\left(u_i c_i^{m^2}+v_i c_i^{m}\right)=0$
где константы $u_i,v_i,c_i$ вычисляются из матриц, $c_i$ - собственные значения матрицы $A_1$.
Далее, ИМХО, в общем виде нерешаемо.

[serval]

В $A_1$ на главной диагонали и 1-й поддиагонали стоят единицы, а в $A_2$ и там и там - первые члены натурального ряда (ограниченного размерностью матриц), остальные элементы обеих матриц равны 0.

[venco]

Тогда этот метод не подходит. $A_1$ не имеет такого разложения.

[serval]

venco в сообщении #1116424 писал(а):

$A_1$ не имеет такого разложения

А её степени?

[venco]

Соответственно, и степени.