Замкнутое подмножество метрического пространства

[ikozyrev]

Читаю книгу Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию". И на странице 107 присутствует теорема "всякое замкнутое множество метрического пространства представимо в виде пересечение счётного множества его открытых множеств". Но как тогда это применимо к связному двоеточию? Как представить замкнутое множество состоящее из точки a, пересечением отрытых множеств - точки b, пустого множества и всего связного двоеточия?

[apriv]

Никак не применимо.

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1116246 писал(а):

Но как тогда это применимо к связному двоеточию?

Продемонстрируйте метрическое пространство, в котором есть связное двоеточие.

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1116255 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116246 писал(а):

Но как тогда это применимо к связному двоеточию?

Продемонстрируйте метрическое пространство, в котором есть связное двоеточие.

Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

-- 18.04.2016, 14:11 --

Цитата:

Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Или же такую метрику в этом пространстве ввести нельзя, потому что обе точки не имеют непересекающихся окрестностей, а следовательно \rho=0?

[mihaild]

ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):

Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Какие множества открыты в таком пространстве?

[ikozyrev]

mihaild в сообщении #1116281 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):

Все связное двоеточие, где $\rho($a,$b)=1

Какие множества открыты в таком пространстве?

b, пустое множество и все связное двоеточие

[mihaild]

А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?

[ikozyrev]

mihaild в сообщении #1116288 писал(а):

А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?

В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - a. И она будет являться замкнутым множеством.

-- 18.04.2016, 14:58 --

mihaild в сообщении #1116288 писал(а):

А как выглядит шар радиуса $0.5$-окрестность a? И является ли она открытым множеством?

Я понял, при вводе метрики, связное двоеточие превращается в простое, так?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1116284 писал(а):

mihaild в сообщении #1116281 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116275 писал(а):

Все связное двоеточие, где $\rho(a,b)=1$

Какие множества открыты в таком пространстве?

$b$, пустое множество и все связное двоеточие

ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):

В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.

(Исправил ошибки в кодах формул.) И как же Вы узнали, что множество $\{b\}$ является открытым, но не замкнутым, а $a$ — наоборот, замкнутым, но не открытым?
Вы определение топологии в метрическом пространстве знаете?

ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):

Я понял, при вводе метрики, связное двоеточие превращается в простое, так?

Нет, не так. Ввести метрику на связном двоеточии нельзя. И на слипшемся двоеточии нельзя. А на дискретном двоеточии можно.

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):

В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.

Оба утверждения верны, но не отвечают на поставленный вопрос. Будет ли эта окрестность открытым множеством? Да или нет. Ответ, пожалуйста, обоснуйте.

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1116296 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116289 писал(а):

В данном случае эта окрестность будет содержать единственную точку - $a$. И она будет являться замкнутым множеством.

Оба утверждения верны, но не отвечают на поставленный вопрос. Будет ли эта окрестность открытым множеством? Да или нет. Ответ, пожалуйста, обоснуйте.

Цепь моих рассуждений следующая - если мы вводим на связном двоеточии ($\{b\},\{a,b\},\{\varnothing\}$- открытые множества, $\{a\}$ - замкнутое), метрику, например $\rho$=($a,b$)=1, то тогда $\exists$ окрестность точки b (например с радиусом 1/2), что в ней нет никаких точек кроме b, и тогда точка b является единтсвенной точкой прикосновения множества {b}, а следовательно множество {b} - замкнуто. Но тогда множество {a} - открыто (как дополнительное к множеству {b}), а значит, обе точки одновременно и открыты и замкнуты. Но это противоречит определению связного двоеточия, что и требовалось.

Все так?

[Anton_Peplov]

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

Все так?

Не всё так. Не так то, что Вы сначала берете топологию, а потом пытаетесь каким-то образом "поверх нее" задать метрику. На самом деле задание метрики уже однозначным образом задает топологию. И, в частности, топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, что Вы и продемонстрировали.

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1116318 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

Все так?

Не всё так. Не так то, что Вы сначала берете топологию, а потом пытаетесь каким-то образом "поверх нее" задать метрику. На самом деле задание метрики уже однозначным образом задает топологию. И, в частности, топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, что Вы и продемонстрировали.

Моя задача как раз и была понять, почему топологию связного двоеточия невозможно задать метрикой, хотя в случае простого двоеточия это возможно.
С Вашей помощью разобрался, спасибо :)

[Anton_Peplov]

Пожалуйста. Упражнение для Вас: показать, что первая аксиома отделимости равносильна тому, что любое двухточечное множество несвязно. Так что несвязность любого двухточечного множества имеет место в гораздо более широком классе пространств, чем метрические.

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1116314 писал(а):

тогда $\exists$ окрестность точки $b$ (…), что в ней нет никаких точек кроме $b$, и тогда точка $b$ является единтсвенной точкой прикосновения множества $\{b\}$

(Формулы исправил.) Это неверное рассуждение. И то же связное двоеточие это демонстрирует. Вы, похоже, самые основные определения не понимаете.

P.S. Неправильно пишете формулы. Будут неприятности, когда модератор увидит.