Условная сходимость

[MestnyBomzh]

Теорема Римана утверждает, что в условно сходящемся ряду можно переставить элементы так, чтобы он сходился к любому числу или даже расходился. У меня тогда вопрос, обычно когда рассматривают ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ говорят, что он сходится (например, по признаку Лейбница). Так вот, можно же по теореме Римана сказать, что он расходится. Да и вообще любой условно сходящийся ряд объявить расходящимся и изучать поведение только рядов, состоящих из модулей...

[Mikhail_K]

MestnyBomzh в сообщении #1115895 писал(а):

Так вот, можно же по теореме Римана сказать, что он расходится.

Нельзя сказать. По теореме Римана можно сказать, что если переставить его члены определённым образом, то можно получить расходящийся ряд. Но это будет уже не ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$, это будет другой ряд, с переставленными членами. Исходный же ряд как был сходящимся, так им и останется)

[MestnyBomzh]

Понял. А зачем вообще нужны абсолютно сходящиеся ряды?

[Mikhail_K]

Что значит - зачем нужны? Некоторые ряды абсолютно сходятся, некоторые условно, некоторые расходятся. Абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся ряды обладают несколько различными свойствами. Это просто факт.

[MestnyBomzh]

Нет, я имел в виду что зачем-то это же ввели. Почему исследуют именно сходимостью модулей, а не каких-то других штук

[Mikhail_K]

Именно потому и ввели, что абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся ряды отличаются по свойствам. Исторически, первоначально математики позволяли себе вольно обращаться с рядами, например произвольно переставлять их слагаемые, и при этом думали, что сумма от этого не меняется. Потом выяснилось, что это можно делать не для всех рядов, а только для абсолютно сходящихся. Ну уже этого в принципе достаточно, чтобы ввести такое понятие.

[MestnyBomzh]

Спасибо. Можно ещё вопрос про произведение и сумму рядов.
Вот возьмём два сходящихся ряда. Будем суммировать следующим образом $c_n=a_n+b_n$ Сумма будет сходящийся если они оба сходятся абсолютно - это понятно. Ну а если они оба сходятся условно? Вроде бы тоже будет сходящейся. А вот если суммировать не так, как я указал, а как-то по-другом, то может получиться что угодно, верно?

[Mikhail_K]

Да, Вы правы.

[MestnyBomzh]

Понял, спасибо ещё раз