Уравнение x^3+y^3+n^3=1

[scwec]

Докажите, что для любого рационального $n\ne{0},-1$ найдется пара рациональных чисел $x,y\ne{1}$ таких, что $x^3+y^3+n^3=1$

[Shadow]

Касательная в точке $(-n,1)$ дает решение

$\left(\dfrac{2n-n^4}{n^3+1};\dfrac{1-2n^3}{n^3+1}\right)$

ну и т.д

[scwec]

Shadow, ответ ожидаемый и точный.
Замечу так же, что при $0<n<\dfrac{1}{2^{1/3}}$ после приведения всех членов к общему знаменателю получаем решения уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3$ в натуральных числах (для справедливости, их известно большое количество). В данном случае, например, при $n=1/2$ имеем $3^3+4^3+5^3=6^3$ -факт довольно забавный.

Что касается и т.д.: Вы правы - следующая параметризация - это $x=-\dfrac{1}{3}\dfrac{-6N^3+N^9+1+3N^6}{N(N^6-N^3+1)},y=\dfrac{1}{3}\dfrac{3N^3+N^9+1-6N^6}{N(N^6-N^3+1)}$, и далее действительно и т.д., поскольку параметризованных решений бесконечное количество. Этим наблюдением (в общем случае) мы обязаны А.Пуанкаре.
Вопрос к Shadow и другим заинтересованным участникам. Недалеко в этом разделе есть тема "Уравнение 6-ой степени".
Что мешает Вам применить в этой теме приём с касательными в известной точке? Кривая, которую там описывает уравнение 6-ой степени имеет род $1$ и она бирационально эквивалентна некоторой эллиптической кривой..

[Shadow]

Странно почему формула не изобразилась, в режиме "предпросмотр" вроде все выглядело нормально. Полная цитата:

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1115621 писал(а):

Касательная в точке $(-n,1)$ дает решение

$\left(\dfrac{2n-n^4}{n^3+1};\dfrac{1-2n^3}{n^3+1}\right)$

ну и т.д

Что касается уравнения "шестой" степени, оно конечно третьей: $z^3+Nx^3=z+N$
Что-то попробовал и не получилось, попробую опять.

-- 16.04.2016, 19:28 --

Сейчас и в первом моем сообщении все нормально.

[scwec]

Надо иметь в виду, что плоская алгебраическая кривая любой степени может иметь род $1$.
Например, $x^2(y^3+1)=y^n$ имеет род $1$ при любом натуральном $n$ и, стало быть, бирационально эквивалентна некоторой эллиптической кривой. (Кривая рода 1, если на ней есть рациональная точка, является эллиптической кривой).