Задачи

[khaoel]

1) В последовательности $\{a_n\}$: $a_1=3$, $a_n=a_{n-1}-\frac{1}{(n-1)nn!}$, $n=2,3,...$
Найти $\lim \limits_{n \to \infty}a_n$.
2) Найти сумму ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{e^{a_nx}+1}$, при $x>0$, если $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n$ при $n=1,2,...$
3) Пусть $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, определяемый равенством
$\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{(n)}=\frac{P_n(x)}{(1+x^2)^{n+1}}$. Доказать, что имеет место равенство
$P_{n+1}(x)+2x(n+1)P_n(x)+n(n+1)(1+x^2)P_{n-1}(x)=0$

[bobo]

khaoel писал(а):

1) В последовательности $\{a_n\}$: $a_1=3$, $a_n=a_{n-1}-\frac{1}{(n-1)nn!}$, $n=2,3,...$
Найти $\lim \limits_{n \to \infty}a_n$.

Ответ: $e$( Сумма получившегося ряда: $\sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k-1)kk!} = \sum \limits_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{(k-1)(k-1)!}- \frac{1}{kk!}) -\sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}=3-e$)

[RIP]

2) Обозначим $f(x)=\frac1{e^x-1}$. Тогда
$f(x)=\frac1{e^x+1}+2f(2x)=\frac1{e^x+1}+\frac2{e^{2x}+1}+4f(4x)=\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{e^{2^nx}+1}$, $x>0$.

3) Поскольку $P_{n+1}(x)=(x^2+1)P'_n(x)-2(n+1)xP_n(x)$, то искомое равенство перепишется в виде $P'_n(x)+n(n+1)P_{n-1}(x)=0$. Обозначим $f(x,y)=\frac{x^2+1}{1+(x+(x^2+1)y)^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{P_n(x)y^n}{n!}$. Тупо в лоб проверяется, что $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial\bigl(y^2f(x,y)\bigr)}{\partial y}=0$. Подставляя вместо $f(x,y)$ ряд и сравнивая коэффициенты при $y^n$, получаем требуемое (почленное дифференцирование законно при достаточно малых $x,y$).