Решение системы нелинейных уравнений

[Vanish]

Здравствуйте, уважаемые знатоки.
Столкнулся с системой нелинейных уравнений.
$\exp(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)})\cdot \frac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}+\exp(-\frac{a_2^2}{2(1+s_2^2)})\cdot \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}}=c_0$
$\exp(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)})\cdot \frac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\cdot \frac{2a_1}{1+s_1^2}+\exp(-\frac{a_2^2}{2(1+s_2^2)})\cdot \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}\cdot \frac{2a_2}{1+s_2^2}}=c_1$
$\exp(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)})\cdot \frac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\cdot \frac{2(-1+2a_1^2+s_1^4)}{(1+s_1^2)^2}+\exp(-\frac{a_2^2}{2(1+s_2^2)})\cdot \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}\cdot \frac{2(-1+2a_2^2+s_2^4)}{(1+s_2^2)^2}}=c_2$
$\exp(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)})\cdot \frac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\cdot \frac{4a_1(-3+2a_1^2+3s_1^4)}{(1+s_1^2)^3}+\exp(-\frac{a_2^2}{2(1+s_2^2)})\cdot \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}}\cdot \frac{4a_2(-3+2a_2^2+3s_2^4)}{(1+s_2^2)^3}=c_3$
$\exp(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)})\cdot \frac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\cdot \frac{4(4a_1^4+12a_1^2(-1+s_1^4)+(-1+s_1^4)^2)}{(1+s_1^2)^4}+\exp(-\frac{a_2^2}{2(1+s_2^2)})\cdot \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}}\cdot \frac{4(4a_2^4+12a_2^2(-1+s_2^4)+(-1+s_2^4)^2)}{(1+s_2^2)^4}=c_4$

Нужно найти решение относительно $p, a_1, a_2, s_1, s_2$

Не могу решить ни в одном из известных мне пакетов (пробовал Mathematica, MATLAB). по начальным приближениям известно, что:
$0<p<1$.

Какую-либо адекватную замену тоже придумать не получается
Решается ли эта вещь вообще?

Буду рад помощи или направлению в сторону решения

[Lia]

Vanish
Мне кажется, будет проще, если Вы напишете исходную задачу.

[svv]

Второе и третье уравнение, второе слагаемое, второй множитель, знаменатель. Именно там должны быть эти дроби с $a_2$ и $s_2$, которые всё страшнее и страшнее? Мне кажется, они должны идти третьим множителем.

А шестого уравнения нет, которое бы связывало те же 5 неизвестных?

[Алексей К.]

Та решается, наверное, но невозможно же по Вашему письму толком рассмотреть это, даже с лупой.
Вот например, этот фрагментик:
$\ldots \frac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}\cdot \frac{2a_2}{1+s_2^2}}=c_1$
Взявши лупу, видим, что Вы даже не удосужились радикальчик сократить:
$\ldots \dfrac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}\cdot \dfrac{2a_2}{1+s_2^2}}=c_1$
И впариваете людям трёэтажную дробь вместо двухэтажной.

Сто раз повторенные экспонентны следовало бы заменить сокращениями:

$$E_1=p\exp\left(-\frac{a_1^2}{2(1+s_1^2)}\right), \quad E_2=(1-p)\exp(\ldots)$$

С ними уходит и $p$, и система разделяется на возможно-решаемую-аналитически и скорее-всего-нерешаемую-аналитически подсистемы.

И люди стазу видят, что там одно и тоже, а не бегают глазами по всем десяти экспонентам, чтобы проверить их на одинаковость!

Не, пакет за Вас, похоже написал формулки, но остальное надо делать головой, ручкой, бумажкой, прочими допотопными средствами. (Можно, наверное, и пакетом, ежели им овладеть, как следует). И предъявить в более приличном виде.

С виду простенькая система, только подана ужасно, специально чтоб все испугались и убежали.

(Оффтоп)

Я тоже ленивый, и потому просто не покупаю рыб. Но если я всё же пожарю рыбу для людей, то я поборю лень --- и чешую очищу, и плавники отрежу, и кишки выпущу...

[Vanish]

To Алексей К.:
Прошу прощения, действительно написал коряво и неразборчиво. Еще и с ошибками!!
To svv: Да, вы правы. Исправлю! И еще одно уравнение есть!


$E_1+E_2=c_0$

$E_1\cdot \dfrac{2a_1}{1+s_1^2}+E_2\cdot \dfrac{2a_2}{1+s_2^2}=c_1$

$E_1\cdot \dfrac{2(-1+2a_1^2+s_1^4)}{(1+s_1^2)^2}+E_2\cdot \dfrac{2(-1+2a_2^2+s_2^4)}{(1+s_2^2)^2}=c_2$

$E_1\cdot \dfrac{4a_1(-3+2a_1^2+3s_1^4)}{(1+s_1^2)^3}+E_2\cdot \dfrac{4a_2(-3+2a_2^2+3s_2^4)}{(1+s_2^2)^3}=c_3$

$E_1\cdot \dfrac{4(4a_1^4+12a_1^2(-1+s_1^4)+3(-1+s_1^4)^2)}{(1+s_1^2)^4}+E_2\cdot \dfrac{4(4a_2^4+12a_2^2(-1+s_2^4)+3(-1+s_2^4)^2)}{(1+s_2^2)^4}=c_4$

$E_1\cdot \dfrac{8a_1(4a_1^4+20a_1^2(-1+s_1^4)+15(-1+s_1^4)^2)}{(1+s_1^2)^5}+E_2\cdot \dfrac{8a_2(4a_2^4+20a_2^2(-1+s_2^4)+15(-1+s_2^4)^2)}{(1+s_2^2)^5}=c_5$

$E_1=\dfrac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\exp(-\dfrac{a_1^2}{1+s_1^2}); E_2=\dfrac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}}\exp(-\dfrac{a_2^2}{1+s_2^2})$

To Lia:
Данная система получается из задачи определения коэффициентов разложения плотности вероятности в ряд по многочленам Эрмита, где коэффициенты $c_n$ определяются формулой:
$c_n=K\cdot\int\limits_{-\infty}^{+\infty}w(x)\cdot \exp(-\dfrac{x^2}{2})\cdot H_n(x) dx$
где
$w(x)=\dfrac{p}{\sqrt{2\pi}s_1}\exp(-\dfrac{(x-a_1)^2}{2s_1^2})+\dfrac{1-p}{\sqrt{2\pi}s_2}\exp(-\dfrac{(x-a_2)^2}{2s_2^2})$ - аппроксимируемая плотность вероятности;

$H_n(x)=((-1)^n)\exp(x^2)\dfrac{d}{dx^n}\exp(-x^2)$ - полиномы Эрмита;

$K$ - постоянная, определяемая условием ортонормированности полиномов Эрмита.

Вроде теперь все правильно.
Еще раз прошу прощения за такое "неудачное" первоначальное оформление.

-- 13.04.2016, 20:20 --

Была мысль ввести такую замену:
$V_1=\dfrac{p}{\sqrt{1+s_1^2}}\exp(-\dfrac{a_1^2}{1+s_1^2}); V_2=\dfrac{1-p}{\sqrt{1+s_2^2}}\exp(-\dfrac{a_2^2}{1+s_2^2})$

$U_1=\dfrac{a_1}{1+s_1^2}; U_2=\dfrac{a_2}{1+s_2^2}$

$W_1=\dfrac{1-s_1^2}{1+s_1^2}; W_2=\dfrac{1-s_2^2}{1+s_2^2}$

Однако, после такое замены, решение относительно новых переменных - комплексное, а попытка обратного перехода успехом не удалась

[Алексей К.]

Vanish в сообщении #1114755 писал(а):

Вроде теперь все правильно.

Во втором варианте радикалы или потеряны, или это и есть исправленные ошибки.
Похоже, именно потеряны: типа Вы хотели их внести в $E_{1,2}$, но забыли...
Но их следы остались в $V_{1,2}$.

[Vanish]

To Алексей К: Вы снова правы, поправил, занес их в $E_1$ и $E_2$.

Невнимательность

-- 13.04.2016, 20:55 --

Пробовал, толку получилось немного. Хотя, конечно, мог и запутаться в выкладках
А комплексное решение получил, решая относительно новых переменных, тупо забив систему в Mathematica.

[Алексей К.]

(Sorry, сообщение, на которое Вы ответили, я за это время удалил, ибо оно показалось мне недодуманным...)

[mihiv]

А коэффициенты $c_i$ известны?

[svv]

Правильно ли я понимаю Вашу задачу? Имеется распределение вероятности такого вида:
$w(x)=\dfrac{p}{\sqrt{2\pi}s_1}\exp\left(-\dfrac{(x-a_1)^2}{2s_1^2}\right)+\dfrac{1-p}{\sqrt{2\pi}s_2}\exp\left(-\dfrac{(x-a_2)^2}{2s_2^2}\right)$
с неизвестными параметрами $p, a_1, a_2, s_1, s_2$.
Известно несколько первых коэффициентов $c_k$ разложения $w(x)$ по полиномам Эрмита (а может, и сколько угодно; уточните).
Требуется по известным коэффициентам $c_k$ найти параметры $p, a_1, a_2, s_1, s_2$.

[svv]

Vanish в сообщении #1114755 писал(а):

$c_n=K\cdot\int\limits_{-\infty}^{+\infty}w(x)\cdot \exp(-\dfrac{x^2}{2})\cdot H_n(x) dx$

Полиномы Эрмита ортогональны с весом $e^{-x^2}$, а не $e^{-\frac{x^2}{2}}$. Соответственно, такой множитель будет и в интеграле для определения коэффициентов.

А с весом $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ортогональны полиномы $He_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}e^{-\frac{x^2}{2}}$.

[Vanish]

To mihiv:
Да, коэффициенты $c_i$ известны.

To svv:
Да, постановка задачи верна. Вообще число коэффициентов может быть и большим, но желательно использовать первые 5-6.

Множитель в интеграле указан правильно,т.к. конечное выражение для аппроксимации имеет вид:
$w(x)=\sum\limits_{n=0}^{k}c_n\cdot\exp(-\dfrac{x^2}{2})H_n(x)$.
Т.к. $\exp(-\dfrac{x^2}{2})$ используется и при вычислении коэффициентов, и при расписывании самой плотности, то берется именно $\exp(-\dfrac{x^2}{2})$, а не $\exp(-x^2) $.

[svv]

Но тогда Вы должны использовать вместо полиномов $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d}{dx^n}e^{-x^2}$ полиномы $He_n(x)=(-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}e^{-\frac{x^2}{2}}$. Это тоже полиномы Эрмита, скажем так, второе стандартное определение из двух существующих. Можете даже обозначать их по-старому.

Я настаиваю на единственном. Пусть Вы раскладываете функцию $w(x)$ по системе функций $(H_n(x))$, ортогональных на $(-\infty, +\infty)$ с весом $\lambda(x)$:
$w(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k\; H_k(x)$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\lambda(x)\;H_k(x)\;H_n(x)\;dx=\begin{cases}0, &k\neq n\\K_n, &k=n\end{cases}$
Тогда
$c_n=\frac 1{K_n}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\lambda(x)\;w(x)\;H_n(x)\;dx$
Т.е. здесь должен быть тот же вес, с которым ортогональны функции. Проверить эту формулу можно, подставив в правую часть вместо $w(x)$ её разложение, затем вынести знак суммы и коэффициенты $c_k$ за интеграл. Из всех интегралов в силу ортогональности будет отличен от нуля только тот, в котором $k=n$. Поэтому и остаётся одно слагаемое с нужным коэффициентом.

Но $H_n(x)$ ортогональны с весом $e^{-x^2}$. С весом же $e^{-\frac{x^2}2}$ ортогональны $He_n(x)$.

Может, Ваше разложение по полиномам Эрмита выглядит не так, как я написал? Пара «ребят» делают так:
$w(x)=\exp(-\frac{x^2}2)\sum\limits_{n=0}^\infty c_k\;H_k(x)$

[Vanish]

Да, разложение выглядит именно так, как делают "пара ребят")
Вообще, ориентировался на Левина Б.Р. "Теоретические основы статистической радиотехники".
Кроме того, долго спорили с научным руководителем насчет этих весов.. Пришли к тому, что именно нужно брать вес
$\exp (-\dfrac{x^2}{2})$ для полиномов Эрмита в форме $H_n(x)$ и использовать разложение в виде:
$w(x)=\exp (-\dfrac{x^2}{2})\cdot\sum\limits_{n}^{k}c_nH_n(x)$
Практика показывает, что при таком выборе веса аппроксимация получается великолепная.

Но, возвращаясь к нашим "баранам".. Как быть с системой?

[mihiv]

Vanish в сообщении #1115071 писал(а):

.
Но, возвращаясь к нашим "баранам".. Как быть с системой?

При заданных $c_i$ решать численно.