Подгруппа дробно-линейных преобразований

[PSP]

Алексей К.
весьма благодарю,напомнили.
Получается ,если задам три точки $z_1,z_2,z_3$ и их образы $w_1,w_2,w_3$ так, чтобы расстояние попарное между ними было L,то получу искомую подгруппу ?
Если так,то это полезно.
Но это для плоскости.
Выполняется ли это для пространства или 4-х мерного псевдоевклидова пространства ?

[arseniiv]

Мне так никто и не сказал, что делать с тождественным преобразованием. Между его фиксированными точками расстояния какие угодно. С чего выбирать $L$? Или даже $2c$? Давайте уже дадим, наконец, точное определение того свойства преобразований, которое интересует? Потому что среди дробно-линейных преобразований есть преобразования разные, а не только чем-то приглянувшиеся. Определение свойства должно быть применимым к ним всем. И как-то неловко напоминать это в очередной раз.

-- Пт апр 15, 2016 03:10:01 --

Алексей К. в сообщении #1114681 писал(а):

Дробно-линейное отображение $w(z)$ определяется тремя точками $z_1,z_2,z_3$ и их образами $w_1,w_2,w_3$:

$$ \frac{(w-w_1)(w_3-w_2)}{(w-w_2)(w_3-w_1)}=\frac{(z-z_1)(z_3-z_2)}{(z-z_2)(z_3-z_1)}.$$

Комплексное, угу. А тут нет.

[PSP]

arseniiv
Преобразования, коие интересуют,имеют вид :

$$\left(\frac{Ax + By + C}{Gx + Hy + I},\frac{Dx + Ey + F}{Gx + Hy + I}\right).$$

Мне ,возможно,ошибочно,кажется, что комплексные преобразования вида :

$\frac{Aw + C}{Gw + I}$ переводящие $w(x.y)$ в $z (x эквиалентны искомым,если расписать их по вещественным и мнимым компонентам.
Попробую дать точное определение преобразований из указанного вида ,коие интересуют.
1.Как минимум,должны быть 2 неподвижные точки.
2.На плоскости попарные расстояния между 3-мя неподвижными точками (если их больше 2-х) должно быть постоянным,т.е. равно L. (в пространстве или 4-х мерии этот пункт модернизируется )
3.Тождественное преобразование входит в эту искомую подгруппу ,раз оно удовлетворяет 1 и 2 по своему определению.

(Оффтоп)

По требованию модераторов избегаю излишнего цитирования

[arseniiv]

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

Мне ,возможно,ошибочно,кажется, что комплексные преобразования вида :

$\frac{Aw + C}{Gw + I}$ переводящие $w(x.y)$ в $z$ (x эквиалентны искомым,если расписать их по вещественным и мнимым компонентам.

Ошибочно. Проективное пространство $\mathbb C\mathrm P$ не изоморфно проективному пространству $\mathbb R\mathrm P^2$. Как тут уже упоминали, в первом задать преобразование можно образами трёх разных точек. Во втором же понадобится четыре. Хотя первостепеннее посмотреть на точки, не покрываемые аффинной картой («бесконечно удалённые») — в первом всего одна $\infty$, во втором это целая проективная прямая $\mathbb R\mathrm P$.

Если выбрать неподвижные точки заранее, группа проективных преобразований, имеющих все их (и, возможно, какие-то другие) существует и единственна (если точек больше трёх, она будет состоять только из тождественного преобразования, а если ноль — включать все).

Если же требовать только количество неподвижных точек,

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

1.Как минимум,должны быть 2 неподвижные точки.

Надо будет показать, что при композиции не может остаться одна или ноль неподвижных точек. Это должно быть проверить проще, чем сохранение расстояний.

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

3.Тождественное преобразование входит в эту искомую подгруппу ,раз оно удовлетворяет 1 и 2 по своему определению.

А это лишнее. Тождественное преобразование обязано входить в любую группу.

[Алексей К.]

(Вынужден похвастаться)

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

По требованию модераторов избегаю излишнего цитирования

А я вот бычки только в урны бросаю, безо всяких требований администрации города.
И матом при посторонних не ругаюсь, не дожидаясь требований окружающих.
И не цитирую избыточно, безо всяких требований модераторов.
Ну и пробел ставлю после запятой, а не перед ней. Фу!

[PSP]

Алексей К. в сообщении #1115454 писал(а):

(Вынужден похвастаться)

(Оффтоп)

Вы меня не поняли. Это я извинялся, что проявил невежливость ,не процитировав

-- Сб апр 16, 2016 01:06:37 --

arseniiv
Я ещё раз обдумал задачу.У меня сложился следующий порядок действий :
1.Похоже,нужно искать преобразования вида :

$$\left(\frac{Ax + By }{Gx + Hy + I},\frac{Dx + Ey }{Gx + Hy + I}\right).$$

2.Они определяются 6-ю независимыми параметрами.Это значит, что достаточно задать 3 точки исходные и 3 точки образа - и можно получить нужное преобразование
3.Надо ещё добавить требование ,чтобы попарные расстояния между точками одного рода были равны L
Насколько это выполнимо - пока не знаю.

[arseniiv]

PSP в сообщении #1115525 писал(а):

2.Они определяются 6-ю независимыми параметрами.Это значит, что достаточно задать 3 точки исходные и 3 точки образа - и можно получить нужное преобразование

Не обязательно.

PSP в сообщении #1115525 писал(а):

2.Надо ещё добавить требование ,чтобы попарные расстояния между точками одного рода были равны L

Одного рода — отдельно исходные и отдельно образы?

Если не ограничивать проективные преобразования написанными в предыдущем посте, то преобразования $f$, для которых $|fA-fB| = |fB-fC| = |fC-fA| = L$ для данных $A, B, C$ таких, что $|A-B| = |B-C| = |C-A| = L$ — это изометрии и какие-нибудь ещё. Изометрии образуют группу, её точно недостаточно? (Притом это аффинные преобразования.)

Если я неправильно сформулировал свойство, напишите его точнее.

[PSP]

Вы все правильно поняли.Насчет того,достаточно ли изомерии - пока не знаю.
Хуже для меня другое-не понял в первой части,почему :"не обязательно".

-- Сб апр 16, 2016 03:24:13 --

[arseniiv]

Во-первых, там семь параметров. Во-вторых, не обязательно какое-то множество непрерывных преобразований $d$-мерного многообразия, в которое непрерывно отображается $\mathbb R^p$, можно задать набором $n$ точек и их образов при любых $nd\geqslant p$. Возьмите повороты трёхмерного евклидова пространства: $p = d = 3$, но одной точкой и её образом поворот не задать, нужно минимум две. Или одна точка с возможно несовпадающим образом и одна неподвижная. (Условия на расположения точек опускаю.)

[PSP]

arseniiv
Это на 1-ый взгляд кажется, что 7 параметров..Можно на один параметр поделить все , и тогда один параметр будет 1 ,и останутся 6 параметров.
Думаю,тут вопрос чисто алгебраический.Для 6-ти параметров нужно 6 уравнений.А поскольку они линейные,но всё решаемо.Мне так кажется.Попробую решить в Мапле.

[arseniiv]

PSP в сообщении #1115584 писал(а):

Можно на один параметр поделить все , и тогда один параметр будет 1 ,и останутся 6 параметров.

Нельзя, когда он нулевой.

[PSP]

arseniiv
Этот случай исключается даже у Шабата-Лавреньтева в их ТФКП,так что я тоже так могу.

Проверил в Мапле..Спокойно решается.
Попробую осуществить п.3.
Сформулирую его по другому.Найти такую подгруппу, в коией если 3 точки лежат на окружности диаметра L,то и образы этих точек должны лежать на окружностях диаметра L.

[Алексей К.]

PSP в сообщении #1115636 писал(а):

Найти такую подгруппу, в коией если 3 точки лежат на окружности диаметра L,то и образы этих точек должны лежать лежат на окружностях диаметра L. (искажения мои --AK)

1. Не эквивалентно ли предъявленное требование следующему:
Найти подгруппу $G(L)$, в которой любая окружность диаметра L преобразуется в окружность диаметра L.

2 . А тогда, если акт касания окружностей сохраняется при обследуемом преобразовании, то это будет верно для любого $L$.
Стало быть: (ф) движение: (и) симметрия относительно прямой.

3. Чота Вы всё время не додумываете...

[PSP]

Алексей К

1.Диаметр L выделен.Как преобразуется окружности другого диаметра,пока не интересует.Только L переходит в L.
2. Про акт касания окружностей не понял.

3.К сожалению, тупой я несколько...

[Алексей К.]

PSP в сообщении #1115833 писал(а):

Как преобразуется окружности другого диаметра,пока не интересует.Только L переходит в L.

Я вроде заявил, что если $L\to L$, ТО (вывод-1) для любого $L'$ имеем $L'\to L'$. Из этого я сделал вывод-2: преобразование есть движение.

Вы говорите, что "Как преобразуется окружности другого диаметра, пока не интересует".
То есть, получается --- "То, что такое преобразование есть движение, пока не интересует."

Как-то странно получается: если вывод-1 Вас не интересует, ТО вывод-2 Вас тоже не интересует.

// Возможно, мои выводы-1,2 скоропалительны или ошибочны. Но это другой вопрос.