Линейное преобразование, матрица преоборазования.

[mr.tumkan2015]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.

Преобразование $\varphi$ задано координатами образа произвольного вектора $x=(x_1,x_2,x_3)$

$x\varphi=(x_1-5x_2, -5x_1+4x_2-5x_3, 5x_2-x_3)$

1) Показать, что $\varphi$ -- линейное преобразование

2) Составить матрицу преобразования $\varphi$

3) Найти образ вектор $a$ под действием $\varphi$ и $\varphi^2$

1) Правильно, нужно проверить, что

a)

$x\varphi=(x_1-5x_2, -5x_1+4x_2-5x_3, 5x_2-x_3)$

$y\varphi=(y_1-5y_2, -5y_1+4y_2-5y_3, 5y_2-y_3)$

$$(x+y)\varphi=(x_1+y_1-5x_2-5y_1, -5x_1-5y_1+4x_2+4y_2-5x_3-5y_3, 5x_2+5y_2-x_3-y_3)$$

$$x\varphi+y\varphi=(x_1-5x_2, -5x_1+4x_2-5x_3, 5x_2-x_3)+(y_1-5y_2, -5y_1+4y_2-5y_3, 5y_2-y_3)$$

Получается, что $(x+y)\varphi=x\varphi+y\varphi$

b) $a(x\varphi)=(ax_1-a5x_2, -5ax_1+4ax_2-5ax_3, 5ax_2-ax_3)$

$(ax\varphi)=(ax_1-5ax_2, -5ax_1+4ax_2-5ax_3, 5ax_2-ax_3)$

$a(x\varphi)=(ax\varphi)$

Линейность проверена.

2) $A\cdot x= (x_1-5x_2, -5x_1+4x_2-5x_3, 5x_2-x_3)$

$$A=\begin{pmatrix} 1&-5 & 0\\ -5 & 4&-5 \\ 0&5 & -1\\ \end{pmatrix}$$

Правильно ли начал?

[Brukvalub]

Правильно.