Момогите вычислить предел с помощью 2-го зам. предела

[rar]

Да, я просто не верно переписал. Ответ вот такой: $e^{-\frac{1}{2}}$
В течении 10-15 минут, напишу решение.

Добавлено спустя 25 минут 37 секунд:

$\lim\limits_{x\to 0}(cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0}[(1+cos x-1)^{\frac{1}{cos x-1}}]^{\frac{cos x-1}{x^2}}$

1) $\lim\limits_{\eta=(cos x-1)\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$

2) $e^{\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}}$=$e^{\lim\limits_{x\to 0}({-\frac{2sin^2 x}{x^2}})$=$e^{-\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2^2}2sin^2 x}{\frac{1}{2^2}x^2}}$=$e^{-\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}[{\frac{sin x}{x}]}^2$=$e^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $\lim\limits_{x\to 0}(cos x)^{\frac{1}{x^2}}$=$e^{-\frac{1}{2}}$

Посмотрите решение, всё ли я сделал корректно.

[bot]

rar писал(а):

Посмотрите решение, всё ли я сделал корректно.

Пока не очень. $\cos x - 1 = ?$ Если бы было так, как написали, то и ответ был бы совсем другой.

[rar]

Хм, но ведь при $x\to 0$ разьве $cos x - 1$ не стремится к нулю, т.е. $(cos x - 1)\to 0$?

[bot]

Стремится, ну и что? Вы заменили бесконечно малую $\cos x - 1$ на другую бесконечно малую, а почему именно эту? Мало ли бесконечно малых, заменили бы просто на x - тоже бесконечно малая.

А я то думал, что у Вас просто проблемы с набором формулы боком вышли ...

[rar]

Честно сказать я тут суть не очень улавливаю. Не поможете уловить?

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Хотя... понял, в 1) там - а не + должен быть.

Добавлено спустя 31 секунду:

Пойду перепишу...

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

Да нет, вроде там + должен быть, все-таки.

[bot]

rar писал(а):

Пойду перепишу...

Ушёл переписывать и, видимо не то ... - уже не увижу, поскольку ухожу.

bot писал(а):

Вы заменили бесконечно малую на другую бесконечно малую

Иногда так можно делать, но для этого требуется обоснование, но здесь всё проще -
надо заменить бесконечно малую на равную ей бесконечно малую, то есть применить некоторое тождество.

[rar]

ну если я возьму $1-cos x$ то получиться следующие:

$\lim\limits_{x\to 0}(cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0}[(1-[1-cos x])^{\frac{1}{1-cos x}}]^{\frac{1-cos x}{x^2}}$

и

$\lim\limits_{\eta=(1-cos x)\to 0}(1-\eta)^{\frac{1}{\eta}}=$?.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Это уже, вроде, не второй замечательный предел.

Добавлено спустя 2 часа 17 минут 48 секунд:

Совет-то какой-нибудь будет?

[Someone]

$\cos x-1=-2\sin^2\frac x2$

Цитата:

Вам надо, чтобы $\eta$ было положительным

Не обязательно.

$$\lim\limits_{\eta\to 0}(1+\eta)^{\frac 1{\eta}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$$

независимо от знака $\eta$.

[rar]

Хм, честно сказать я не понимаю о чем вы мне хотите сказать. Вы мне скажите по поводу выше написанного, как быть?

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

или $\lim\limits_{\eta\to 0}(1-\eta)^{\frac{1}{\eta}}=\lim\limits_{\eta\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$ ???

[Someone]

rar писал(а):

Хм, честно сказать я не понимаю о чем вы мне хотите сказать.

У Вас вот в этих вычислениях ошибка или описка:

rar писал(а):

2) $e^{\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}}$=$e^{\lim\limits_{x\to 0}({-\frac{2sin^2 x}{x^2}})$=$e^{-\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2^2}2sin^2 x}{\frac{1}{2^2}x^2}}$=$e^{-\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}[{\frac{sin x}{x}]}^2$=$e^{-\frac{1}{2}}$

Я Вам намекаю, что $\cos x-1=-2\sin^2\frac x2$.

rar писал(а):

или $\lim\limits_{\eta\to 0}(1-\eta)^{\frac{1}{\eta}}=\lim\limits_{\eta\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$ ???

$\lim\limits_{\eta\to 0}(1-\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e^{-1}$
$\lim\limits_{\eta\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$

Я имел в виду, что

$\lim\limits_{\eta\to 0^-}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=\lim\limits_{\eta\to 0^+}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=\lim\limits_{\eta\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

Всё верно, только лучше взять $\eta = 1 - \cos x$, а не $\eta = \cos x - 1$.

Хотел сказать, но воздержался, что это замечание может сбить автора с толку.

Someone писал(а):

Я Вам намекаю, что $\cos x-1=-2\sin^2\frac x2$.

Теперь и не знаю, что думать - вижу несколько вариантов:

1) разбирается с тем, что сказал Someone по поводу замечания
2) постигает тонкость намёка
3) мы ему не нужны - помощь опоздала
4) мы ему не нужны - разобрался