Сходящаяся последовательность операторов в гильбертовом пр.

[kp9r4d]

Пусть у нас есть гильбертово пространство $H$, и две последовательности операторов $a_n,b_n \in B(H)$, при этом мы знаем, что каждый $a_n$ положителен и последовательность $a_n$ сходится по норме, а каждый $b_n$ - обратим. Можем ли мы из этого сделать вывод, что $b_n a_n b^{-1}_n$ сходится по норме?

[DeBill]

Слишком мало ограничений...
Пусть, например, на плоскости: все $a_n$ -одни и те же: диагональные, с 1 и 2 на диагонали, а $c_n = $ Вашему произведению. Понятно, что достаточно потребовать их подобность (определитель равен 2, а след равен 3), чего явно не достаточно для сходимости....

[kp9r4d]

Да, действительно, спасибо.

[kp9r4d]

А если таким образом: у меня есть сходящаяся последовательность $a_n \cdot b_n$ можно ли что-то сказать о $b_n \cdot a_n$, зная, что все $b_n \cdot a_n$ строго положительны?

[mihaild]

Нет. Возьмите любой положительный оператор $C$, любые два некоммутирующих с ним обратимых оператора $x$ и $y$ и положите $a_1 = a_3 = \ldots = x, a_2 = a_4 = \ldots = y, b_n = Ca_n^{-1}$.