Параметрическое представление

[carlsagan]

Здравствуйте!
Постановка вопроса.
Задача состоит в проверке формулы Стокса, то есть мне нужно отдельно посчитать циркуляцию данного мне векторного поля, отдельно поток ротора и затем сравнить обе части. С этим мне все понятно, но беда пришла откуда не ждали. Я понял , что у меня проблемы с параметризацией кривых, а именно:

$\Gamma$: $x^2+y^2=z^2$ , $x=2 z+1$

У меня есть конус и плоскость, их пересечение дает мне эллипс, по которому я буду считать циркуляцию. Пытаюсь параметрически выразить этот эллипс. Никак не сойдется. Перечислю свои действия, не знаю верно ли я делаю.

Подставляю второе уравнение в первое, получаю связь между $y$ и $z$: $y^2+3 z^2+4 z+1=0$
Смотрю на квадратичную форму сигнатура "++", ну да - это эллипс.

Пробую ввести преставления, чтобы выйти на каноническое уравнение:
$z=\frac{\xi+\eta}{2}$, $y=\frac{\sqrt{3}}{2} (\xi-\eta)$

Подставляю это предыдущее уравнение, привожу подобные , выделяю полные квадраты:
$\frac{(\xi+\frac{2}{3})^2}{\frac{7}{18}}+\frac{(\eta+\frac{2}{3})^2}{\frac{7}{18}}=1$

Получается окружность, ибо полуоси равные. Здесь я смутился, но решил продолжить:

$\xi=\sqrt{\frac{7}{18}} \cos(t) - 2/3$
$\eta=\sqrt{\frac{7}{18}} \sin(t) - 2/3$

Тогда:
$z=1/2 \sqrt{\frac{7}{18}} (\cos(t)+\sin(t)) - 2/3$
$y=\sqrt{3}/2 \sqrt{\frac{7}{18}} (\cos(t)-\sin(t))$
$x=\sqrt{\frac{7}{18}} (\cos(t)+\sin(t)) - 1/3$

Для проверки подставил найденное в исходное уравнение конуса, получаю: $\frac{42}{72}=\frac{1}{3}$
Как видно, не сходится. При расчетах ошибок с коэффициентами вроде не было.
Но я думаю проблема в самой концепции, как и в том, что я имею плохое чутье на подобные вещи. Был бы цилиндр, а не конус - проблем бы не было.

Прошу совета и помощи, Господа.
Как ввести тут параметризацию этого эллипса?
Какие есть способы "углядывания" параметризаций в общих случаях?

[Otta]

carlsagan в сообщении #1114757 писал(а):

Подставляю второе уравнение в первое, получаю связь между $y$ и $z$: $y^2+3 z^2+4 z+1=0$
Смотрю на квадратичную форму сигнатура "++", ну да - это эллипс.

Пробую ввести преставления, чтобы выйти на каноническое уравнение:
$z=\frac{\xi+\eta}{2}$, $y=\frac{\sqrt{3}}{2} (\xi-\eta)$

Можно спросить, зачем Вы его поворачиваете, когда единственное, что мешает каноничности - смещение? Это раз.
И два - что Вам вообще это уравнение дает? если в одно уравнение подставить другое, что получится?

[carlsagan]

1) На графике заметил, что угол между плоскостью, в которой лежит эллипс, и плоскостью Оху составляет 30 градусов , очень захотелось повернуть систему на pi/6.

2) Если полставляю одно в другое полчучаю смещенный по оси z эллипс.

-- менее минуты назад --

Кстати , сейчас начинаю понимать , что я кажется не довернул её на 120 градусов.

[Otta]

carlsagan в сообщении #1114780 писал(а):

2) Если полставляю одно в другое полчучаю смещенный по оси z эллипс.

Не, а по смыслу-то что? при подстановке в одно уравнение другого (неважно каких)?

[carlsagan]

Otta в сообщении #1114787 писал(а):

carlsagan в сообщении #1114780 писал(а):

2) Если полставляю одно в другое полчучаю смещенный по оси z эллипс.

Не, а по смыслу-то что? при подстановке в одно уравнение другого (неважно каких)?

Это дает общее решение системы по одной из переменных. (Для системы с 2мя неизвестными). Для системы же с тремя неизвестными это накладывает связь.

[Otta]

Так. Давайте на пальцах.
Есть одна поверхность. $x^2+y^2+z^2=1$ и другая $x=y$. Какая кривая в их пересечении и что получится, если использовать Ваш прием?