контр пример (несобственные интегралы)

[Grand.Master]

Господа, какой можно привести контрпример?
Есть функция неотрицательная, которая определена при $x\geqslant0$
И Интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)$ сходится. Нужно найти такой пример, при котором $\lim\limits_{x\to +\infty}^{}f(x)\ne 0$
Поискал примеры, но везде все стремится к нулю..(

[provincialka]

А вам надо формулу для $f$ написать? Или просто описать её "на пальцах", словами?

[mihailm]

самый тупой пример: из подходящей заменой $f(n)=n$

[Red_Herring]

Если предел существует и отличен от 0, то интеграл расходится. Но интеграл может сходиться если $f$ не стремится к 0 (и вообще не имеет предела)

[Grand.Master]

provincialka
Ну хотя бы для начала описать.. а потом уже, если это возможно, то написать..

[arseniiv]

Давайте начнём с совета Red_Herring и какой-нибудь функции, подходящей, но имеющей $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = 0$. Что нужно с ней сделать, чтобы предел перестал существовать?

[provincialka]

Кстати, в условии ничего не сказано про непрерывность искомой функции. А ведь не одни непрерывные функции интегрируемы. Впрочем, можно исхитриться и с непрерывной.

[Grand.Master]

arseniiv
нужно, чтобы для любых последовательностей $ x_n\to +\infty$ , либо не существовали пределы $f(x_n)$, либо они были не равны между собой

-- 12.04.2016, 21:58 --

provincialka
Кстати, да, функция непрерывная.

[arseniiv]

Grand.Master в сообщении #1114500 писал(а):

нужно, чтобы для любых последовательностей $ x_n\to +\infty$ , либо не существовали пределы $f(x_n)$, либо они были не равны между собой

Не совсем верно. Для синуса существует куча таких последовательностей, имеющих пределом, скажем, 1 — но предела при $x\to+\infty$ у него всё-таки нет. Здесь достаточно существования упомянутых последовательностей, а не чтобы они все такими были. Вот как раз и возьмите последовательность $f(x_n)$ для какой-то данной последовательности $x_n$ и сделайте что-то с $f$, чтобы у $f(x_n)$ не было предела. Или, если удобнее, возьмите две последовательности с разными существующими пределами — и у одной, так уж и быть, пускай будет нулевой.

[Grand.Master]

arseniiv

Не очень понимаю, что нужно сделать с функцией..

Нашел пример, но потом оказалась, что подынтегральная функция не подходит под условие.
$\int\limits_{0}^{+\infty} \sin(x^2)$

[demolishka]

Grand.Master, возьмите тождественный ноль. Потом измените его, например, в целочисленных точках, например на 1. И далее исправьте до непрерывной функции так, чтобы интеграл сходился.

[ewert]

Ну формулу-то придумать банально. Скажем, $|\cos x|^{x^3}$. После чего это дело легко корректируется пусть даже и до бесконечной дифференцируемости.

Но лучше, конечно, без формулы.

[Grand.Master]

demolishka
то есть преобразовать функцию дирихле в непрерывную?

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1114515 писал(а):

demolishka
то есть преобразовать функцию дирихле в непрерывную?

Вы невнимательны. В посте demolishka речь шла о функции вовсе не Дирихле.

[Red_Herring]

Grand.Master в сообщении #1114515 писал(а):

demolishka
то есть преобразовать функцию дирихле в непрерывную?

Ну причём здесь Дирихле? Её если и преобразовать разумным образом в непрерывную, то кроме 0 ничего не получишь!

Цитата:

-- Идите к чертовой матери со своим "студебеккером"! --заорал Остап. -- Кто такой Студебеккер? Это ваш родственник Студебеккер? Папа ваш Студебеккер? Чего вы прилипли к человеку?