Найти условные экстремумы функции методом Лагранжа

[Sh@dow777]

Привет всем. Пишу на этот форум, так как я в ступоре.

Задание: найти условные экстремумы функции $(x_1 - 2)^2 + x_2^2 \to extr$ методом Лагранжа.
Ограничения: $x_1+x_2 \leqslant 1$, $x_1 \geqslant 0$, $x_2 \geqslant 0$.

Функция Лагранжа:
$L = \lambda_0(x_1^2-4x_1+4+x_2^2)+\lambda_1(x_1+x_2-1)-x_1\lambda_2-x_2\lambda_3$

Составляю систему необходимых условий экстремума:
$\left\{ \begin{array}{rcl} 2\lambda_0x_1-4\lambda_0+\lambda_1-\lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_0x_2+\lambda_1-\lambda_3= 0 \\ x_1+x_2-1\leqslant 0 \\ -x_1 \leqslant 0 \\ -x_2 \leqslant 0 \\ \lambda_1(x_1+x_2-1) = 0 \\ -\lambda_2x_1 = 0 \\ -\lambda_3x_2 = 0 \\ \end{array} \right.$

Решил систему для двух случаев: $\lambda_0=0$ и $\lambda_0\ne 0$.
Нашел 3 стационарные точки: A(0; 0), B(0; 1), C(1, 0).

И как теперь проверить, в какой точке минимум, а в какой максимум? Я проверял достаточные условия первого и второго порядка, но мой препод сказал, что проверять достаточные условия - это как стрелять из пушки по воробьям.

Так что делать? Может, достаточно просто вычислить значения функции в точках?

[demolishka]

Sh@dow777 в сообщении #1114334 писал(а):

достаточные условия - это как стрелять из пушки по воробьям.

Метод Лагранжа для этой задачи тоже --- из пушки по воробьям.

[provincialka]

Sh@dow777 в сообщении #1114334 писал(а):

Может, достаточно просто вычислить значения функции в точках?

Формально говоря, этот способ применим,если критических точек 2, потому что непрерывная функция га компакте должна же где-то достигать минимума и максимума. А вот в третьей точке неясно.
И вообще, что вы ищите: локальные (условные) экстремумы или наибольшее и наименьшее значение в области? Для второй задачи "вычислить значения" -- естественный способ.

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1114334 писал(а):

Нашел 3 стационарные точки: A(0; 0), B(0; 1), C(1, 0).

И как теперь проверить, в какой точке минимум, а в какой максимум?

А просто сравнить значения целевой функции в найденных точках не пробовали?

[Sh@dow777]

provincialka
Я ищу условные экстремумы. Нужно найти именно методом Лагранжа.

Brukvalub
Я уже так и думаю, что нужно так и сделать, но просто сомневаюсь теперь, что это прокатит с преподом Я уже раз 5-ый пересдаю задачу, и всё неверно.

Он мне сказал, что лучше напрямую проверить, выполняется ли в найденных точках условие экстремума путем оценки приращения функции при вариации аргумента в окрестности подозрительной точки. Это что значит? Это и есть - вычислить и сравнить значения функции в точках?

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1114396 писал(а):

Он мне сказал, что лучше напрямую проверить, выполняется ли в найденных точках условие экстремума путем оценки приращения функции при вариации аргумента в окрестности подозрительной точки. Это что значит? Это и есть - вычислить и сравнить значения функции в точках?

Нет, рубить дрова и есть кашу - это разные действия. Судя по вопросу, вы совсем книжек не читаете?

[Sh@dow777]

Brukvalub
Да нет, почему же, читаю. Просто я уже перестал соображать в этой задаче.

Сначала мне просто сказали, что нужно посмотреть несколько примеров решения подобных задач в разных учебниках, и действовать по аналогии. Я посмотрел, и там везде почти проверяют достаточные условия. В методичке, которую мне дал препод, 4-ым пунктом алгоритма решения также является проверка достаточных условий.
Теперь мне говорят, что проверять достаточные условия - гиблое дело. Я запутался.

Подскажите, как оценить приращение функции в этих точках? Какая-то формула есть? Или, может, нужно график нарисовать, и на нем посмотреть?

-- 12.04.2016, 16:06 --

Brukvalub
Да нет, почему же, читаю. Просто я уже перестал соображать в этой задаче.

Сначала мне просто сказали, что нужно посмотреть несколько примеров решения подобных задач в разных учебниках, и действовать по аналогии. Я посмотрел, и там везде почти проверяют достаточные условия. В методичке, которую мне дал препод, 4-ым пунктом алгоритма решения также является проверка достаточных условий.
Теперь мне говорят, что проверять достаточные условия - гиблое дело. Я запутался.

Подскажите, как оценить приращение функции в этих точках? Какая-то формула есть? Или, может, нужно график нарисовать, и на нем посмотреть?

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1114411 писал(а):

Подскажите, как оценить приращение функции в этих точках? Какая-то формула есть? Или, может, нужно график нарисовать, и на нем посмотреть?

Прибавить к координатам точки приращения, подставить в функцию и подсчитать приращение функции.
Одного не пойму, КАК можно запутаться в совершенно прозрачной задаче: на плоскости на своей вершине стОит параболоид вращения, на этой же плоскости выделен треугольник, внутри которого бегают переменные...Устная задача!

[provincialka]

Sh@dow777
Здесь вообще сложно считать экстремум локальным... В точном смысле. Локальный экстремум достигается во внутренней точке и это существенно для его обнаружения!

У вас ситуация другая. Внутри треугольника критических точек нет, на сторонах -- тоже. Критическими точками являются вершины треугольника, а никак не внутренние точки треугольника или его сторон. То есть это по сути концевой экстремум, а не локальный...

[Sh@dow777]

Brukvalub
Так а что прибавлять? Приращений же не дано. Просто любые числа взять(допустим, 0,5)?

И ещё вопрос. С параболоидом все понятно. А вот первое ограничение - это же полуплоскость. Откуда треугольник?

[Brukvalub]

Еще проще посмотреть на задачу так: требуется изучить поведение квадрата расстояния от фиксированной точки плоскости до точек некоторой треугольной области в той же плоскости. Задача доступна восьмикласснику!

-- Вт апр 12, 2016 17:22:25 --

Sh@dow777 в сообщении #1114426 писал(а):

А вот первое ограничение - это же полуплоскость. Откуда треугольник?

См. два других ограничения.

[Sh@dow777]

Brukvalub
В общем, я начертил график. Получилось, что минимум в точке М(1; 0), а максимум в точке М1(0; 1).

Только как это в ответе записать? Одного графика и вычисления значений функции в этих двух точках будет достаточно?

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1114462 писал(а):

Одного графика и вычисления значений функции в этих двух точках будет достаточно?

Мне - достаточно.

[Sh@dow777]

Brukvalub
В итоге, решение снова забраковали..
Препод сказал, что график неверный. Я изобразил первое ограничение так: нарисовал прямую x2 = 1-x1, получился этот треугольник, и в итоге всё, что находится левее и ниже этой прямой - заданная полуплоскость. А треугольник является допустимым множеством.

Но препод сказал, что допустимым множеством является часть единичного круга, находящегося в первой четверти координатной плоскости.

Только у меня вопрос. Ведь уравнение единичного круга $x^2+y^2<1$. Кто из нас прав то - я или препод?

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1114978 писал(а):

Только у меня вопрос. Ведь уравнение единичного круга $x^2+y^2<1$. Кто из нас прав то - я или препод?

Вы правы.