Площадь поверхности вращения вокруг Оу

[Grand.Master]

Возник некоторый вопрос, связанный с поиском площади поверхности вращения.
есть функция $ y=a\ch(x/a), 0\leqslant x \leqslant b$ и надо найти площадь поверхности вращения вокруг Оу.

Взял формулу

$$S=2\pi\int\limits_a^b x(y) \sqrt{1+(x'(y))^2}dy$$

Но не знаю, как выразить x(y)...
Конечно, есть вариант выразить через ареакосинус, но как потом его интегрировать не очень понятно...

[alcoholist]

Grand.Master
Запишите гиперболический косинус через экспоненты и решите квадратное уравнение

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1112211 писал(а):

Но не знаю, как выразить x(y)...

Не надо никак выражать. Запишите $dy$ как $y'(x)\,dx$ и внесите производную под корень. Корень извлечётся и получится гиперболический синус.

[Grand.Master]

ewert

То есть применять формулу такую уже?

$$S=2\pi\int\limits_a^b y(x) \sqrt{1+(y'(x))^2}dx$$

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1112211 писал(а):

есть функция $ y=a\ch(x/a), 0\leqslant x \leqslant b$ и надо найти площадь поверхности вращения вокруг Оу.

Взял формулу

$$S=2\pi\int\limits_a^b x(y) \sqrt{1+(x'(y))^2}dy$$

У Вас пределы интегрирования неправильные.

Grand.Master в сообщении #1113248 писал(а):

То есть применять формулу такую уже?

$$S=2\pi\int\limits_a^b y(x) \sqrt{1+(y'(x))^2}dx$$

Вы хоть внимательно читайте, что Вам пишут:

ewert в сообщении #1112244 писал(а):

Запишите $dy$ как $y'(x)\,dx$

И не забудьте пределы интегрирования изменить, раз к другой переменной интегрирования переходите.

[Grand.Master]

Ну заменил я $dy=\sh(\frac{x}{a})dx$
Поставил в формулу, и под корнем получил $\sqrt{\sh^2(\frac{x}{a})+\sh^4(\frac{x}{a})}$
Легче не стало

[svv]

Когда Вы интегрировали по $y$, у Вас под интегралом было $x(y)$, $\sqrt{1+(x'(y))^2}$ и $dy$. Теперь Вы переходите к переменной интегрирования $x$.

Вместо $x(y)$ будет $x$.
Вместо $\sqrt{1+(x'(y))^2}$ будет $\sqrt{1+\frac 1{(y'(x))^2}}$.
Вместо $dy$ будет $y'(x)\;dx$.
Пределы интегрирования тоже изменятся.

Внесите $y'(x)$ под знак корня, упростите. Проделайте это сначала в общем виде, вдруг надо будет ещё что-то подобное решить. Покажите нам, что получилось.

[Grand.Master]

svv в сообщении #1114301 писал(а):

Вместо $x(y)$ будет $x$.
Вместо $\sqrt{1+(x'(y))^2}$ будет $\sqrt{1+\frac 1{(y'(x))^2}}$.
Вместо $dy$ будет $y'(x)\;dx$.

Извините, а это откуда следует?

[Otta]

А правда ли, что $x(y)$ - обратная функция к $y(x)$? В Вашем случае? а как производная обратной функции считается? а что произойдет, если вместо аргумента функции подставить обратную к ней? ну и так далее.

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1114304 писал(а):

Извините, а это откуда следует?

Извините, но Вы же явно математический анализ изучаете. Там в учебнике и ищите ответ. Соответствующие определения и теоремы там должны быть. В темах, посвящённых производным.

[Grand.Master]

svv в сообщении #1114301 писал(а):

Вместо $x(y)$ будет $x$.
Вместо $\sqrt{1+(x'(y))^2}$ будет $\sqrt{1+\frac 1{(y'(x))^2}}$.
Вместо $dy$ будет $y'(x)\;dx$.

Да я понимаю откуда берется производная обратной функции.

Но вот почему $x(y)$ заменяем на $x$..до этого не могу дойти

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1114364 писал(а):

Да я понимаю откуда берется производная обратной функции.

Но вот почему $x(y)$ заменяем на $x$..до этого не могу дойти

Очень странно. Чтобы понимать первое, надо понимать второе.

А как из уравнения $y=y(x)$ получить уравнение $x=x(y)$? И что получится, если во второе уравнение подставить выражение $y$ из первого?

[Grand.Master]

alcoholist в сообщении #1112239 писал(а):

Grand.Master
Запишите гиперболический косинус через экспоненты и решите квадратное уравнение

ну записал, там получил $x=a\ln{\frac{y+\sqrt{y^2-a^2}}{a}}$

[svv]

Grand.Master
Ну как, стало ли понятней? Я про $x$ вместо $x(y)$.

[Grand.Master]

svv
не особо..