Обратные тригонометрические функции

[NoSmoking!]

Не могу понять что делать с $ \cos(\frac{1}{2} \arccos x) $ в следующем неравенстве:

$ \sin ( \arccos x ) - \sqrt {3} \cos(\frac{1}{2} \arccos x) \leqslant 0 $

[AD]

Ну понижение степени ...
$\cos^2\tfrac\alpha2=\ldots$

[NoSmoking!]

$ \cos(\frac{1}{2} \arccos x) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\arccos x)}{2}} $?

Спасибо. )

[AD]

$ \cos(\frac{1}{2} \arccos x) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\arccos x)}{2}} $
Чувствуете разницу? Разберетесь сами, где плюс, а где минус?

[NoSmoking!]

Цитата:

Разберетесь сами, где плюс, а где минус?

Будет +, т.к. $ \frac{1}{2} \arccos x \in (0, \frac{\pi}{2}] $, а косинус на этом промежутке неотрицательный...

[AD]

NoSmoking!

Отлично! Я прозевал такой момент.

[незваный гость]

Я бы пошёл путём наименьшего сопротивления: ввёл бы $t = \frac12 \arccos x$, и решал бы себе по шагам: сначала тригонометрическое неравенство, потом обратно.

У этого подхода есть ещё и та приятность, что мы на бреющем уходим от радикалов.

[NoSmoking!]

Может быть я бы так и сделал, но мне вдруг стал неясен именно этот момент. А если бы уравнение было бы как-то усложнено (или просто как-то изменено), то я бы не смог решить без этого.

[незваный гость]

«Мир устроен просто: счастье до утра лишь»

Вы правы, всё может быть сложнее. Обычно переход к наименьшему кратному работает лучше, поскольку позволяет перейти к алгебраическому уравнению с минимумом радикалов. За исключением тех случает, когда удаётся перейти к кратному углу: в выражении $\cos^2(\frac12 \arccos x)$ это бы не имело смысла.