УМФ, приведение к КВ, решение

[Ubermensch]

Подскажите, правильно ли я решаю.
Смотрю теорию и пытаюсь сам решать, но сомневаюсь, правильно ли.
1. Приведение к КВ
$U_{xx}+2(1+2x)U_{xy}+(4x^2+4x)U_{yy}+2U_y+xU=0$
Дискриминант: $D=b^2-ac = (1+2x)^2-4x^2-4x = 1+4x^2+4x-4x^2-4x-1 > 0$, значит уравнение гиперболического типа.
Составляю характеристическое уравнение:
$(dy)^2-2(1+2x)dxdy+(4x^2+4x)(dx)^2=0$

$$dy = \frac{-1-2x\pm 1}{2}dx$$

$$dy=(-1-x)dx$$

$$dy=-xdx$$

Находим характеристики:

$$\xi = y+x+\frac{x^2}{2}$$

$$\eta = y + \frac{x^2}{2}$$

$\xi_x = 1+x, \qquad \eta_x = x$

$$\xi_y = 1, \qquad \eta_y = 1$$

Якобиан не равен нулю.
$U(x,y)=\widetilde{U}(\xi, \eta)$
$U_x = \widetilde{U}_{\xi}\xi_x+\widetilde{U}_{\eta}\eta_x=(1+x)\widetilde{U}_{\xi}+x\widetilde{U}_{\eta}$
$U_{xx}=\widetilde{U}_{\xi\xi} (\xi_x)^2+2\xi_x\eta_x\widetilde{U}_{\xi\eta}+(\eta_x)^2\widetilde{U}_{\eta\eta}+(\xi_{xx})\widetilde{U}_{\xi}+\eta_{xx}\widetilde{U}_{\eta}=\widetilde{U}_{\xi\xi}+2x(1+x)\widetilde{U}_{\xi\eta}+\widetilde{U}_{\xi}$
$U_{xy}=(1+x)\widetilde{U}_{\xi\xi}+x\widetilde{U}_{\eta\xi}+(1+x)\widetilde{U}_{\xi\eta}+x\widetilde{U}_{\eta\eta}=(1+x)\widetilde{U}_{\xi\xi}+(1+2x)\widetilde{U}_{\eta\xi}+x\widetilde{U}_{\eta\eta}$
$U_y=\widetilde{U}_{\xi}+\widetilde{U}_{\eta}$
$U_{yy}=\widetilde{U}_{\xi\xi}+2\widetilde{U}_{\xi\eta}+\widetilde{U}_{\eta\eta}$

Теперь это нужно подставить в исходное уравнение.
В итоге получим:

$$(8x^2+10x+3)\widetilde{U}_{\xi\xi}+(18x^2+18x+2)\widetilde{U}_{\xi\eta}+(8x^2+6x)\widetilde{U}_{\eta\eta}+3\widetilde{U}_{\xi}+2\widetilde{U}_{\eta}+x\widetilde{U}=0$$

Теперь делаем обратную замену:

$$\xi=\eta+x, \qquad x=\xi-\eta, y=\eta - \frac{(\xi-\eta)^2}{2} = \frac{1}{2}(-\xi^2+2\xi\eta-\eta^2+2\eta)$$

Значит КВ равен:

$$\widetilde{U}_{\xi\eta} = \frac{-(\xi-\eta)\widetilde{U}-3\widetilde{U}_{\xi}-2\widetilde{U}_{\eta}-(8(\xi-\eta)^2+6)\widetilde{U}_{\eta\eta}-(8(\xi-\eta)^2+10(\xi-\eta)+3)\widetilde{U}_{\xi\xi}}{(18(\xi-\eta)^2+18(\xi-\eta)+2)}$$

Это похоже на правду?
Или у меня где-то ошибка, которая повлекла такие громадные выражения?
Перепроверил сам 2 раза, не могу найти недочетов.

Подскажите, пожалуйста.

[Red_Herring]

То, что Вы делаете достаточно бессмысленно и скорее всего ошибочно, потому что в характеристических координатах никаких вторых производных кроме смешанной не останется. Гораздо проще записать
\begin{gather*}\partial_x^2+2(1+2x)\partial_x\partial_y+(4x^2+4x)\partial_y^2+2\partial_y+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y)^2-\partial_y^2+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y+\partial_y)(\partial_x+(1+2x)\partial_y-\partial_y) +x \end{gather*}
но в любом случае оставшийся член $ xU$ помешает найти явное выражение для решения.

[Ubermensch]

Red_Herring в сообщении #1113939 писал(а):

То, что Вы делаете достаточно бессмысленно и скорее всего ошибочно, потому что в характеристических координатах никаких вторых производных кроме смешанной не останется. Гораздо проще записать
\begin{gather*}\partial_x^2+2(1+2x)\partial_x\partial_y+(4x^2+4x)\partial_y^2+2\partial_y+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y)^2-\partial_y^2+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y+\partial_y)(\partial_x+(1+2x)\partial_y-\partial_y) +x \end{gather*}
но в любом случае оставшийся член $ xU$ помешает найти явное выражение для решения.

Я ошибся, это задание не предполагает поиска решения.
Нужно просто найти КВ.

Все делаю по указаниям, которые предложены в методичках, но не получается

[Red_Herring]

Ubermensch в сообщении #1113944 писал(а):

Все делаю по указаниям, которые предложены в методичках, но не получается

То как советуют в методичке приводит к длинным вычислениям и тем самым к ошибкам. Я Вам показал короткий путь. Работайте в другую сторону: найдите $U_{\xi\eta}$ через производные по $x,y$

[Ubermensch]

Red_Herring в сообщении #1113939 писал(а):

То, что Вы делаете достаточно бессмысленно и скорее всего ошибочно, потому что в характеристических координатах никаких вторых производных кроме смешанной не останется. Гораздо проще записать
\begin{gather*}\partial_x^2+2(1+2x)\partial_x\partial_y+(4x^2+4x)\partial_y^2+2\partial_y+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y)^2-\partial_y^2+x=\\ (\partial_x+(1+2x)\partial_y+\partial_y)(\partial_x+(1+2x)\partial_y-\partial_y) +x \end{gather*}
но в любом случае оставшийся член $ xU$ помешает найти явное выражение для решения.

Я не понимаю, почему в характеристическом уравнении остается $x$?
Еще раз скажу, что я ошибся с постановкой задачи. Мне нужно найти только КВ. Решение не нужно. Условие записано корректно. Сверил с книгой.

[Red_Herring]

Ubermensch в сообщении #1113965 писал(а):

Я не понимаю, почему в характеристическом уравнении остается $x$

Мы пишем не характеристическое уравнение, а полностью уравнение в "операторной форме"

[Ubermensch]

Для чего?
Для приведения к первому КВ мы записываем характеристическое уравнение и находим характеристики.

[Red_Herring]

Ubermensch в сообщении #1113979 писал(а):

Для приведения к первому КВ мы записываем характеристическое уравнение и находим характеристики.

А как насчёт младших членов? Или мы их просто отбрасываем?

[Ubermensch]

Характеристическое уравнение имеет вид $a(dy)^2-2bdxdy+c(dx)^2=0$
Решаем его, берем интегралы и получаем характеристики. Разве не так?

[Red_Herring]

Вам надо уравнение характеристик или каноническая форма? Уравнение характеристик Вы записали верно

[Ubermensch]

Мне нужен канонический вид.
А для него нужны характеристики. Их мы получаем их характеристического уравнения.

Где ошибка в моих рассуждениях и решении?

[Red_Herring]

Ubermensch в сообщении #1113989 писал(а):

де ошибка в моих рассуждениях и решении?

Я не собираюсь проверять Ваших вычислений: долгие, нудные, ненужные. Я Вам уже сказал:

Red_Herring в сообщении #1113955 писал(а):

Работайте в другую сторону: найдите $U_{\xi\eta}$ через производные по $x,y$

просто потому что в канонической форме других производных 2го порядка не будет.

[Ubermensch]

Я Вам уже сказал:

Red_Herring в сообщении #1113955 писал(а):

Работайте в другую сторону: найдите $U_{\xi\eta}$ через производные по $x,y$</span><!-- b end -->

Я не понимаю это.
Можно доступнее?

[Red_Herring]

Ubermensch в сообщении #1113996 писал(а):

Я не понимаю это.
Можно доступнее?

Ну куда проще: Вы писали $U_{x}= U_\xi \xi_x +U_\eta\eta_x $ и т.д. и т.п. А попробуйте наоборот $U_{\xi}= U_x x_\xi +U_yy_\xi $ и тд. Из вторых производных надо найти только $U_{\xi\eta}$ которая с точностью до множителя и младших членов совпадет со всей левой частью уравнения