Исследовать на сходимость интеграл

[lantza]

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл

$$$\int\limits_{0}^{+\infty} x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})dx$$$

Я доказал, что он абсолютно не сходится: просто сравнил снизу модуль подынтегральной функции.

Но я не могу доказать, что она сходится условно (судя по ответу в задачнике). Что я ни делал по известным мне методам - то по признаку Коши (не получается получить верхнюю оценку модуля интеграла), то по признаку Дирихле (пробовал принять ограниченную первообразную за $F(x) = -\cos (\dfrac{\cos x^3}{x+1})$, умножить и поделить на новую часть от производной $F$ и так далее; в результате другая получившаяся функция не является монотонной), то по признаку Абеля (условия теоремы не попадают для подынтегральных функций) - ничего толкового не получается сделать.

Как же это все-таки сделать?

[Aritaborian]

ИСН в сообщении #304104 писал(а):

Один студент тоже вот так всё время забывал писать в интегралах $dx$. Потом он пошёл на стройку и ему на голову упал кирпич.

[lantza]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1113953 писал(а):

ИСН в сообщении #304104 писал(а):

Один студент тоже вот так всё время забывал писать в интегралах $dx$. Потом он пошёл на стройку и ему на голову упал кирпич.

Вот блин, от этой цитаты я всегда смеялся, но я и не ожидал, что я на ней же попадусь. Поправил.

[Otta]

Выделите главную часть на бесконечности. Посмотрите, хватит ли этого. Если не хватит, найдите следующие члены асимптотики. И так далее.

-- 11.04.2016, 01:10 --

lantza в сообщении #1113950 писал(а):

Я доказал, что он абсолютно не сходится: просто сравнил снизу модуль подынтегральной функции.

А вот это очень интригует.

[lantza]

Otta в сообщении #1113957 писал(а):

А вот это очень интригует.

$|x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})| \geqslant x^2\sin^2(\dfrac{\cos x^3}{x+1}) = x^2 \dfrac{1+\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2} = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2}$.
Отсюда ясно, что интеграл абсолютно расходится по первому признаку.

Otta в сообщении #1113957 писал(а):

Выделите главную часть на бесконечности. Посмотрите, хватит ли этого. Если не хватит, найдите следующие члены асимптотики. И так далее.

Я вас не очень понимаю: что значит "выделить главную часть на бесконечности"?

[demolishka]

lantza, про формулу Тейлора слыхали? Аргумент у синуса при больших $x$ --- близок к нулю. Вот и пишите формулу Тейлора для синуса, а потом подставьте туда то, что нужно. Сразу скажу --- одного члена будет мало, надо писать два.

[Brukvalub]

lantza в сообщении #1113963 писал(а):

$|x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})| \geqslant x^2\sin^2(\dfrac{\cos x^3}{x+1}) \geqslant x^2 \dfrac{1+\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2} = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2}$

Нехорошо путать формулы понижения степени для синуса и для косинуса, совсем нехорошо! Но еще хуже не уметь раскрывать скобки, много хуже!!!:D

[provincialka]

если уж говорить о $dx$. Меня, например, одновременное нахождение под интегралом величин $x^3$ и $x^2dx$ несколько нервирует... Нельзя ли от них избавиться?

[lantza]

Brukvalub в сообщении #1113968 писал(а):

Нехорошо путать формулы понижения степени для синуса и для косинуса, совсем нехорошо!

В спешке писал, конечно же там минус.

Про формулу Тейлора - спасибо, до меня дошло.

[Brukvalub]

lantza в сообщении #1113970 писал(а):

В спешке писал, конечно же там минус.

Но скобки-то все равно раскрыты с ошибкой.

[lantza]

Так вот, по формуле Тейлора вроде все хорошо, но, простите за незнание, а что делать с слагаемым вида $O\left(\dfrac{1}{x}\right)$ при исследовании на сходимость знакопеременной функции? Писать что-то типа
$\int\limits_{0}^{+\infty} O\left(\dfrac{1}{x}\right)dx$
и волшебным образом исследовать его на сходимость? Но как это?

[Red_Herring]

lantza в сообщении #1113985 писал(а):

Так вот, по формуле Тейлора вроде все хорошо, но, простите за незнание, а что делать с слагаемым вида

Вы знаете ряд Тейлора для синуса в 0? Так возьмите достаточное число членов чтобы в остатке было не $O(1/x),$ а скажем $O(1/x^2)$

[Brukvalub]

Странно и дико читать в одном и том же сообщении сначала:

lantza в сообщении #1113985 писал(а):

Так вот, по формуле Тейлора вроде все хорошо

и сразу после этого:

lantza в сообщении #1113985 писал(а):

а что делать с слагаемым вида $O(\dfrac{1}{x})$ при исследовании на сходимость знакопеременной функции?

Начинаю подозревать, что по формуле Тейлора вроде НЕ все хорошо. Чтобы стало все хорошо, нужно прочесть сообщение

demolishka в сообщении #1113967 писал(а):

одного члена будет мало, надо писать два.

А косяк с абсолютной сходимостью вы решили не исправлять?

[lantza]

Red_Herring в сообщении #1113988 писал(а):

Вы знаете ряд Тейлора для синуса в 0? Так возьмите достаточное число членов чтобы в остатке было не $O(1/x),$ а скажем $O(1/x^2)$

Мне выше посоветовали взять два первых слагаемых, поэтому я взял и сделал так:
$x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1}) = x^2\left(\dfrac{\cos x^3}{x+1} - \dfrac{\cos^3 x^3}{6(x+1)^3} + O(1/x^3)\right) = \dfrac{x^2\cos x^3}{x+1} - \dfrac{x^2\cos^3 x^3}{6(x+1)^3}$ $ + O(1/x)$
Первые два слагаемые сходятся по признаку Дирихле (там только формулу тройного угла косинуса надо), и остается вот этот $O(1/x)$. Я не знаю, что с ним делать.

Brukvalub в сообщении #1113990 писал(а):

А косяк с абсолютной сходимостью вы решили не исправлять?

Да ладно вам, там первое слагаемое зато верное, и она всё разрешила с абсолютностью.

[Brukvalub]

lantza в сообщении #1113991 писал(а):

Да ладно вам, там первое слагаемое зато верное, и она всё разрешила с абсолютностью.

Нет, поскольку второе слагаемое ПРИНЦИПИАЛЬНО неверное, вы же скобки раскрывать не обучены!