Функция минимального расстояния

[31010]

Всем привет! Зашел в тупик...
Есть функция

$y=\cos{x}$

и прямая

$y= y_0$


Необходимо найти зависимость изменения минимального расстояния от прямой до этой функции.

Решаем через производную.

В точке $O$ и точке пи$ производные функции равны нулю и минимальное расстояние от линии до графика найти легко.

Найдем минимальное расстояние от прямой в точке $A(x_0;y_0)$ до функции.
Это будет перпендикуляр к касательной функции в точке $B(x_b;\cos{x_b})$

Найдем расстояние $AB$

$AB=\sqrt{(x_b-x_0)^2+(\cos{x_b}-y_0)^2}$


Пробовал через производную, получилось вот что:

$AB'=\frac{2(x_b-x_0-(\cos{x_b}-y_0)\sin{x_b})}{2\sqrt{(x_b-x_0)^2+(\cos{x_b}-y_0)^2}}$приравнял к 0

Числитель

${(x_b-x_0-(\cos{x_b}-y_0)\sin{x_b})}=0$

А дальше тупик...
Как выразить $x_b$ ?

Пробовал еще через пересечение окружности с функцией. Но тоже не получается.
Если надо, напишу, но только у меня времени ушло на описание формул... да еще интернет вылетал, пришлось 3 раза все набирать..

Как можно решить этот вопрос?

[iifat]

Расстояние от ... до ... — это число. Оно ни от чего не зависит. Вы б задачу как-то аккуратнее поставили.

[Brukvalub]

Да и отвечать нет смысла, все равно тема сейчас улетит в карантин и там останется.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Нормально поставьте задачу,
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
,

[mihailm]

А что такое минимальное расстояние между кривыми?

[31010]

mihailm в сообщении #1114123 писал(а):

А что такое минимальное расстояние между кривыми?

Такого нет в задании.
Говорится о минимальном расстоянии от прямой (любой точки на прямой) до кривой (функции COS)

В точке О это расстояние равно $R_0=y_0-1$
В точке $T/2$ - $R_\frac{T}{2}= y_0+1$
В точке В - равно расстоянию AB.

[mihailm]

Так их много ответов будет? От каждой точки?

[upgrade]

Это надо найти минимальный радиус окружности с центром на прямой (или на кривой), которая касается кривой (прямой).

[arseniiv]

31010
Так вам надо от каждой точки прямой расстояния находить, или нужно всего одно число — расстояние от прямой до синусоиды? Если второе (если в тексте именно «расстояние от прямой до …» — это оно), его значение очевидно.

Если первое:

31010 в сообщении #1113934 писал(а):

${(x_b-x_0-(\cos{x_b}-y_0)\sin{x_b})}=0$

А дальше тупик...
Как выразить $x_b$ ?

В элементарных функциях — никак. Это, конечно, не обязательно мешает исследовать функцию $(x_0, y_0)\mapsto x_b$. Можно решать это уравнение и численно.

[31010]

arseniiv в сообщении #1114132 писал(а):

31010
Так вам надо от каждой точки прямой расстояния находить, или нужно всего одно число — расстояние от прямой до синусоиды? Если второе (если в тексте именно «расстояние от прямой до …» — это оно), его значение очевидно.

Если первое:

31010 в сообщении #1113934 писал(а):

${(x_b-x_0-(\cos{x_b}-y_0)\sin{x_b})}=0$

А дальше тупик...
Как выразить $x_b$ ?

В элементарных функциях — никак. Это, конечно, не обязательно мешает исследовать функцию $(x_0, y_0)\mapsto x_b$. Можно решать это уравнение и численно.

Именно первое.

-- 11.04.2016, 17:01 --

mihailm в сообщении #1114130 писал(а):

Так их много ответов будет? От каждой точки?

Да, это будет какая-то функция. Зависимость AB от $x_0$

-- 11.04.2016, 17:02 --

upgrade в сообщении #1114131 писал(а):

Это надо найти минимальный радиус окружности с центром на прямой (или на кривой), которая касается кривой (прямой).

Это надо найти минимальный радиус окружности с центром на прямой. Совершенно верно. В каждой точке прямой...

[upgrade]

Здесь пытался решить аналогичную задачу. Для отдельных функций разрешимо.