mserg, добрый день! Я, кажется, воспроизвел Ваше удивительное решение, по крайней мере, частично.
Например,

, по всей видимости, работает для всех

, кроме

(никакое

не является решением). А, для

, частное решение

подходит для любого количества повторений

(по факту, проверял программно для

и менее повторений).
Но, скажу честно, пока не разобрался, как и почему работает эта магия
Получается, за ней стоит какое-то нетривиальное утверждение по поводу четности наборов биномиальных коэффициентов?
Буду Вам очень признателен за более подробное пояснение, например, для того же случая

.
P.S.: я на эту задачу "подсел", и сам пытался искать другие варианты решений (их ведь очень много, скажем,

штук для

). Например, состоящих из минимального количества единиц (предположение, что это

для

), или, состоящих только из блоков

и

, или, состоящих из решений для меньших

и т.д. Но, все эти "мелкоблочные" гипотзы неизменно ломались при довольно скромных

.