Ваше распределение
разлагается на два слагаемых, каждый из которых имеет простой вероятностный смысл.
где
- номер испытания, в котором произошел
-й успех, и
- номер испытания, в котором произошла
-я неудача. Соответственно,
при
. Главное, не переходить к левому хвосту, поскольку левые хвосты разные:
.
Каждая из величин
есть сумма
независимых слагаемых с геометрическими распределениями, имеющих смысл номера первого успеха (для
) или номера первой неудачи (для
):
где
независимы и одинаково распределены,
независимы и одинаково распределены,
,
,
,
.
Поэтому есть повод воспользоваться ЦПТ:
Обе дроби в левых частях событий под вероятностями сходятся по распределению к стандартному нормальному, а вот поведение правых частей зависит от того, кто больше -
или
. Пусть
. Тогда выбирая
, где
- квантиль уровня
стандартного нормального распределения, получим, что
потому что правая часть в
равна
Итак,