2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хвост распределения с биномиальными коэффициентами
Сообщение07.04.2016, 16:12 


21/04/13
19
Имеется случайная величина $X_K$ с распределением $\mathsf{P}(X_K = l) = C^{K-1}_{2K-1+l} [p^{l+K} (1-p)^K + p^K  (1-p)^{l+K}]$, где $p \in (0,1)$, $K \in \mathbb{N}$. Интересуют численные значения 0.95-квантили: $\mathsf{P}(X_K \geqslant \xi_{0.95}) \leqslant 0.05$. При небольших $K$ и определённых значениях $p$ всё считается в лоб, но, начиная с некоторого $K$, моя программа уже не справляется (считаю в R).

Пытался получить асимптотику при $K \to \infty$ при фиксированном $p$ с помощью формулы Стирлинга, но получаю асимптотику только для $\mathsf{P}(X_K = l)$, но понимания, что с хвостом в целом это не даёт. С помощью каких приёмов можно обойти "невычисляемость" при больших $K$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хвост распределения с биномиальными коэффициентами
Сообщение09.04.2016, 03:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ваше распределение $X_k$ разлагается на два слагаемых, каждый из которых имеет простой вероятностный смысл.
$$\mathsf P(X_k=l)= C^{k-1}_{2k-1+l}p^k q^{l+k} + C^{k-1}_{2k-1+l} p^{l+k} q^k =$$
$$=\mathsf P(U_k = l+2k)+\mathsf P(V_k=l+2k), \, l\geqslant 0$$
где $U_k$ - номер испытания, в котором произошел $k$-й успех, и $V_k$ - номер испытания, в котором произошла $k$-я неудача. Соответственно, $\mathsf P(X_k > l)=\mathsf P(U_k > l+2k)+\mathsf P(V_k > l+2k)$ при $l\geqslant 0$. Главное, не переходить к левому хвосту, поскольку левые хвосты разные: $\mathsf P(X_k \leqslant l)\neq \mathsf P(U_k \leqslant l+2k)+\mathsf P(V_k \leqslant l+2k)$.

Каждая из величин $U_k, V_k$ есть сумма $k$ независимых слагаемых с геометрическими распределениями, имеющих смысл номера первого успеха (для $U_k$) или номера первой неудачи (для $V_k$):
$$U_k = \sum_{i=1}^k \xi_i, \,\, V_k = \sum_{i=1}^k \eta_i,$$
где $\xi_1,\xi_2,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $\eta_1,\eta_2,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $\mathsf E\xi_1=\frac1p$, $\mathsf D\xi_1=\frac{q}{p^2}$, $\mathsf E\eta_1=\frac1q$, $\mathsf D\eta_1=\frac{p}{q^2}$.

Поэтому есть повод воспользоваться ЦПТ:
$$\mathsf P(X_k > l)=\mathsf P(U_k > l+2k)+\mathsf P(V_k > l+2k) = $$
$$=\mathsf P\left(\frac{\sum_{i=1}^k \xi_i - k\mathsf E \xi_1}{\sqrt{k\mathsf D\xi_1}} > \frac{l+2k-k/p}{\sqrt{kq/p^2}}\right)\, + \, \mathsf P\left(\frac{\sum_{i=1}^k \eta_i - k\mathsf E \eta_1}{\sqrt{k\mathsf D\eta_1}} > \frac{l+2k-k/q}{\sqrt{kp/q^2}}\right)=P_p+P_q.$$
Обе дроби в левых частях событий под вероятностями сходятся по распределению к стандартному нормальному, а вот поведение правых частей зависит от того, кто больше - $p$ или $q$. Пусть $p<q$. Тогда выбирая $l=\tau \sqrt{kq}/p+k/p-2k$, где $\tau$ - квантиль уровня $0{,}95$ стандартного нормального распределения, получим, что
$$ P_p \to 1-\Phi_{0,1}(\tau)=0{,}05, \,\, P_q \to 0,$$
потому что правая часть в $P_q$ равна
$$\frac{\tau \sqrt{kq}/p+k/p-k/q}{\sqrt{kp/q^2}} \to +\infty \text{ при } k\to\infty. $$

Итак,
$$\xi_{0{,}95}\sim\begin{cases}\tau_{0{,}95} \sqrt{kq}/p+k/p-2k, & p<q, \cr 
\tau_{0{,}95} \sqrt{kp}/q+k/q-2k, & p>q, \cr 
2\tau_{0{,}975} \sqrt{k/2}, & p=q=1/2.
 \end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Хвост распределения с биномиальными коэффициентами
Сообщение09.04.2016, 13:54 


21/04/13
19
Спасибо, только вчера заметил, что ЦПТ и отрицательное биномиальное спасают.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group