Я не знаю, что с этим делать... Может я надеюсь на каплю жалости? Я не знаю, что мне делать дальше... Я знаю, что мне надо готовится к поступлению в вуз.
(выделение в тексте сделано мной).
Munin-у
Здесь, для начала, важно уяснить разницу между теорией множеств и теорией категорий. И разница не в "с точностью до изоморфизма". В чем "фишка"? В теории множеств все "сущности" равнозначны. У нас есть объекты, между которыми мы можем выстраивать соотношения, отталкиваясь от двух атомарных соотношений
, используя логические символы (в зависимости от соглашений в качестве базовых могут использоваться разные наборы). Соответственно, имеется некий набор правил генерации новых объектов из уже имеющихся. Более жесткий (как в ZFC, где все объекты - множества) или более мягкий (как в NBG, где все объекты - классы (собственные или несобственные)). Соответственно, в рамках теории множеств объекты равнозначны. В том числе всякое отображение всего лишь класс/множество. В теории категорий все не так. У нас изначально два сорта "сущностей": объекты и стрелки. Причем полагается, что нет какой-либо явной связи между объектами и стрелками. Соответственно больше свободы. Имеются правила генерации новых объектов из тех, что уже имеются в наличии, и новых стрелок из тех, что уже имеются в наличии. Всякое отображение в ТК - это просто стрелка и все. Отталкиваясь от этих простых вещей, мы приходим к неутешительному выводу. Чтобы построить отображение в ТМ, нужно построить бинарное отношение в ТМ. А чтобы построить бинарное отношение в ТМ, нужно определить пару (например, по Куратовскому). Стало быть, чтобы построить функцию в ТМ, нужно определить пару. А как? А вот так - сложно и некрасиво. Однако нет выхода. В ТК, где уже изначально имеются стрелки, мы можем строить декартово произведение объектов, используя стрелки - проекторы. Как в книге у Вавилова - "Не совсем наивная теория множеств"! Такие дела... Важно отключить теоретико - множественную интуицию и понять, что стрелка - не объект, а объект - не стрелка. Это было, во-первых. Во-вторых, в теории множеств не получится определить
. А в ТК можно попробовать. Не знаю, правда, получится ли? А... Все зависит от того, имеется ли нейтральный элемент относительно декартова произведения...
Это ключевой момент вашего сообщения. Я бы даже выделил его черным цветом. Если понятия подобны, то и соответствующие термы подобны. Например, вы знаете что такое дифференциальная алгебра? Представьте себе кольцо с заданным на нем морфизмом, который имеет те же свойства, что и обычная производная (относительно операций кольца, разумеется). Дык вот, такая структура называется дифференциальным кольцом, а морфизм - дифференциалом. Хотя при этом сходство только внешнее...
Внимание, а теперь, собственно, ГЛАВНЫЙ ВОПРОС:
Не много ли
подснежников троллей выскочило на форум этой весной? Может, это солнечная активность так влияет?