Об одном интересном умножении матриц

[kp9r4d]

Спасибо. А $\sigma$ что делает тогда? Я, видимо, не до конца понял, откуда куда действует $\sigma$?

[Xaositect]

$\sigma \colon V_n \otimes V_n \to V_n\otimes V_n, \sigma(a\otimes b) = b\otimes a$. Сохраняет норму при умножении, это просто доказывается.

[kp9r4d]

Xaositect
Кажется понял, спасибо. А вот такой вопрос, если мы поле $\mathbb{C}$ заменим на матрицы $m \times m$ то будет выполнятся хотя бы субмультипликативность? ($||A*B|| \leqslant ||A|| ||B||$)

-- 06.04.2016, 20:14 --

Если чуть строже, то пусть у нас есть отображение
$*: M_n \otimes M_m \times M_n \otimes M_m \to M_{n^2} \otimes M_m$
Действующее следующим образом: $(E_{ij} \otimes A)*(E_{kl} \otimes B) \mapsto (E_{kj} \otimes E_{il}) \otimes (A \cdot B)$ Верно ли тогда, что $||A * B|| \leqslant ||A|| ||B||$ (где $A,B \in M_{nm}$).

[kp9r4d]

Ещё такая вот проблема, у нас есть умножение (которое слегка отличается от того, что я называл раньше) на $M_{n^{k+1}} \times M_{n^{k+1}} \to M_{n^{k+2}}$ действующее по следующему принципу:

$$*: M_n \otimes M_{n^{k}} \times M_n \otimes M_{n^k} \to M_n \otimes M_n \otimes M_{n^{k}}$$

$$(\alpha \otimes A) * (\beta \otimes B) = (\alpha \otimes \beta \cdot \sigma) \otimes (A \cdot B)$$

где $\sigma: M_n \otimes M_n \to M_n \otimes M_n$ действует как $\sigma(a \otimes b) = b \otimes a$.
Можно как-то понять, как оно будет действовать на матрицах, не представимых в виде элементарных тензоров?