Непредставимость в виде суммы простого и степени нтурального

[Ktina]

Верно ли, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы простого числа и степени натурального?
(под степенью понимается степень с натуральным показателем, большим 1)

Задача родилась из олимпиадной, там вместо степени был квадрат. Квадраты натуральных чисел, дающих остаток 5 или 8 при делении на 9, не представимы в виде суммы простого числа и квадрата натурального (проверьте!)

[DeBill]

А что, рассуждения в стиле Тао не прокатят?
Простых - мало, степеней - совсем мало; не хватит, значить...(плотности ихние маловаты, типа...)

-- 06.04.2016, 01:07 --

Ох, не прокатит...

[Ktina]

DeBill в сообщении #1112543 писал(а):

...степеней - совсем мало; ...(плотности ихние маловаты, типа...)

Это ещё почему?

[gris]

А вот так, навскидку, до пары сотен какое число непредставимо? Кроме 2 и 5 ничего не видно. Интересно, какие следующие несколько непредставимых чисел? Нету ничего под рукой, кроме калькулятора

[DeBill]

Ktina в сообщении #1112552 писал(а):

Это ещё почему?

Потому что - глюк это был

(Оффтоп)

Не пинайте меня больше, пжалста - я ж признался -

DeBill в сообщении #1112543 писал(а):

Ох, не прокатит...

[Andrey A]

Ktina в сообщении #1112501 писал(а):

Квадраты натуральных чисел, дающих остаток 5 или 8 при делении на 9, не представимы в виде суммы простого числа и квадрата натурального (проверьте!)

Тут достатачно и по $\mod3$, если брать положительные. Т.е. $(3k+5)^2,\ k=0,1,2,...$
С кубами точно так же: находим какое-нибудь $6^3-5^3=7\cdot 13$, и все $(7k+6)^3$ будут непредставимы. $(13k+6)^3$ кстати тоже, но именно кубами.

[Andrey A]

Upd
Если же степени могут быть разные, то уже $5^2=17+2^3$.

[12d3]

До 10 миллионов такие числа еще непредставимы: $1549$, $1771561$. Первое из них простое, а вот второе поинтереснее $1771561=11^6$.

[maxal]

A119748

[Ktina]

Числа, не представимые в виде суммы точной степени и простого числа (в окошко для заголовка не поместилось).

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел,

не представимых в виде суммы точной степени и простого числа.

Иными словами, чисел не представимых в виде $n^k+p$, где $n\in\mathbb{N},\; k\in\mathbb{N},\; k\geqslant 2,\quad p\in\mathbb{P}$.

[Lia]

Темы объединены