Хитрый интеграл

[frankenstein]

Добрый вечер!
Какой-то хитрый интеграл, не знаю с чего начать:

$$ \int \frac{x^3}{\sqrt[4]{ x^3+1}} dx $$

Попробовал так:

$$ \int \frac{x^3}{\sqrt[4]{ x^3+1}} dx = \int \frac{x^3 dx}{\sqrt[4]{(x+1)(x^2-x+1)}} $$

Но что это дало да?
Потом так:

$$ \int \frac{x^3}{\sqrt[4]{ x^3+1}} dx = [t = x^3] = \int \frac{t dx}{\sqrt[4]{t+1}} $$

Тоже тупик.

[Otta]

Это полный и точный текст задания?

Если да, можете про дифференциальные биномы почитать.

[frankenstein]

Otta в сообщении #1112163 писал(а):

Это полный и точный текст задания?

Если да, можете про дифференциальные биномы почитать.

Какой текст? Надо просто найти неопределенный интеграл.
Мне кажется тут довольно просто решается в один щелчок.

[fronnya]

Поддерживаю Otta, но кроме всего прочего у меня есть замечание. Когда вы делаете замену переменной, не забывайте находить $dx$, смотрите

frankenstein в сообщении #1112158 писал(а):

Потом так:

$$ \int \frac{x^3}{\sqrt[4]{ x^3+1}} dx = [t = x^3] = \int \frac{t dx}{\sqrt[4]{t+1}} $$

нужно ещё было написать, что $3x^2dx=dt$ и тогда ваше выражение под интегралом будет совсем другим, но уж точно не таким, какое там оно у вас. Помните, при замене переменной, вообще говоря, нельзя просто взять и заменить $dx$ на $dt$.

frankenstein в сообщении #1112165 писал(а):

Мне кажется тут довольно просто решается в один щелчок.

Ага, если про дифференциальные биномы почитаете. Там написано, какую замену надо делать.

[frankenstein]

Да, согласен.
Почитал про Интегрирование дифференциального бинома.
Получилось так:

$$ \int x^3(1+1x^3)^{-1/4}dx $$

Итак
у нас $p=-1/4$, $m=3$, $a = 1$, $b=1$, $n=3$

1. $p$ не целое, поэтому эта подстановка не подходит
2. $\frac{m+1}{n}$ тоже не целое
3. $\frac{m+1}{n}+p$ тоже не целое.

Поэтому получается, что данный интеграл нельзя выразить в виде конечного набора элементарных функций.

[Dan B-Yallay]

frankenstein в сообщении #1112175 писал(а):

у нас $p=1/4$, $m=3$, $a = 1$, $b=1$, $n=4$

$n=4 ??$

frankenstein в сообщении #1112175 писал(а):

2. $\frac{m+1}{n}$ тоже не целое

$\frac {3+1}{4} \ldots $

[fronnya]

frankenstein , только там степень не $1/4$, а $-1/4$

[frankenstein]

Dan B-Yallay
Да, там ошибочка $n \ne 4$, а $n = 3$

-- 05.04.2016, 00:35 --

fronnya, да но все равно все 3 пункта не проходят

[Ms-dos4]

frankenstein
Ну тогда в элементарных вы его не выразите

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #1112228 писал(а):

Ну тогда в элементарных вы его не выразите

Ну вообще да, он через эллиптические функции выражается.

[Ms-dos4]

fronnya

(Оффтоп)

Именно через эллиптические ФУНКЦИИ - сомневаюсь. Вряд ли даже через эллиптические интегралы. Насколько помню, точно выражается через гипергеометрическую функцию.

[Red_Herring]

Вольфрамалфа на помощь:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%5E3+(1%2Bx%5E3)%5E(-1%2F4)+dx