Порождающее множество группы

[student1138]

Всем большое спасибо за полезную беседу.
Anton_Peplov довольно точно изложил причины моего замешательства. Все вопросы отпадают если помнить что по определению порождающее множество - подмножество какой-то группы.

[arseniiv]

Если уж говорить о множестве, которое не является подмножеством какой-то заранее известной группы, то можно ещё образовать свободную группу над ним, или группу с набором определяющих соотношений (Кострикин, Введение в алгебру, ч. 3: Основные структуры, гл. 1, §4, п. 5 Образующие и определяющие соотношения).

[student1138]

arseniiv в сообщении #1111500 писал(а):

Если уж говорить о множестве, которое не является подмножеством какой-то заранее известной группы, то можно ещё образовать свободную группу над ним, или группу с набором определяющих соотношений (Кострикин, Введение в алгебру, ч. 3: Основные структуры, гл. 1, §4, п. 5 Образующие и определяющие соотношения).

В общем меня подвела аналогия с линейной оболочкой. Когда мы просто делаем всевозможные комбинации только из данных нам исходно элементов (векторов).

Теперь я вижу процедуру порождения подгруппы иначе:

Мы добавляем к множеству S те элементы из группы G которых недостает чтобы получилась подгруппа:
1) добавляем обратные элементы, какие требуются,
2) добавляем единицу, если ее нет в S,
3) добавляем всевозможные произведения элементов полученного множества

Таким образом получается наименьшая подгруппа содержащая S.

[Anton_Peplov]

student1138 в сообщении #1111506 писал(а):

В общем меня подвела аналогия с линейной оболочкой. Когда мы просто делаем всевозможные комбинации только из данных нам исходно элементов (векторов).

Дело в том, что в линейном пространстве из любого вектора можно получить нулевой умножением на скалярный нуль и обратный умножением на скалярную минус единицу. Поэтому во множестве всех линейных комбинаций (линейной оболочке) любых векторов нейтральный и обратные элементы будут по умолчанию. В группе же во множестве, содержащем элемент $a$ и замкнутом относительно групповой операции, нейтральный элемент и обратный к элементу $a$ будут не обязательно, так что такое множество является полугруппой, но не обязательно группой. Пример - в $\mathbb{Z}$ как группе по сложению для элемента $1$ минимальным таким множеством является $\mathbb{N}$, которое есть полугруппа, но не группа.

student1138 в сообщении #1111506 писал(а):

3) добавляем всевозможные произведения элементов полученного множества

А также всевозможные произведения этих произведений и так далее. Поэтому минимальная группа над конечным множеством может быть бесконечной, что мы уже видели на примере $\mathbb{Z}$.

[arseniiv]

student1138 в сообщении #1111506 писал(а):

В общем меня подвела аналогия с линейной оболочкой. Когда мы просто делаем всевозможные комбинации только из данных нам исходно элементов (векторов).

Тут, кстати, всё совершенно аналогично. Есть линейная оболочка векторов уже известного пространства, а есть пространство всех формальных линейных комбинаций элементов множества $S$ — его можно считать множеством функций $S\to F$, где $F$ — интересующее поле. Определяющие соотношения тоже аналогично делаются.

[Anton_Peplov]

student1138 в сообщении #1111506 писал(а):

В общем меня подвела аналогия с линейной оболочкой. Когда мы просто делаем всевозможные комбинации только из данных нам исходно элементов (векторов).

Добавлю к вышесказанному. Пусть $G$ - абелева группа (для неабелевых доказать не смог) и $T$ - ее произвольное подмножество. Обозначим $P(T)$ минимальное множество, содержащее $T$ и замкнутое по групповой операции. Как уже говорилось, оно будет полугруппой, но не обязательно группой. Напомним, что произведением множеств $A, B \subset G$ называется множество $AB$ всех элементов $G$, представимых в виде $ab$, где $a \in A, b \in B$. Обозначим $T^{-1}$ множество всех элементов, обратных к элементам $T$.
Утверждение. Минимальная группа над $T \subset G$ равна
$G_{\min}(T) = P(T \cup T^{-1}) = P(T T^{-1}) = P(T) P(T^{-1}) \cup P(T) \cup P(T^{-1})$.
Можно доказать самостоятельно в качестве упражнения.

[arseniiv]

Пусть $T = \{a\}$. При $a\ne e$ порядки циклических групп $P(T\cup T^{-1}) = P(\{a,a^{-1}\})$ и $P(TT^{-1}) = P(\{e\})$ будут отличаться.

[Anton_Peplov]

Так. Где-то я зарапортовался.

-- 03.04.2016, 19:42 --

Да,
$G_{\min}(T) = P(T \cup T^{-1}) = P(T) P(T^{-1}) \cup P(T) \cup P(T^{-1}) = P(T_*T_*^{-1})$. Здесь $T_* = T \cup \{e\}$.
Насчет $P(T T^{-1})$ я погорячился.