Задача про операторы

[Grabovskiy]

Здравствуйте, прошу помочь с решением одной домашней задачи по функциональному анализу.
Имеется банахово пространство $X$ над полем комплексных чисел, $\lambda \in \mathbb{C}\setminus{0}$. Необходимо показать, что уравнение
$AB-BA = \lambda I,$
где $I$ -- тождественный оператор, не имеет решения в ограниченных операторах $A,B \in \mathcal{L}(X)$

Мои идеи:
Хотел найти какое-нибудь противоречие со спектрами операторов $A$ и $B$. Возможно, что они пусты, либо неограниченны, либо еще чего. Задача проста в конечномерном случае, достаточно взять $\operatorname{tr}$ от обоих частей. Но, увы, здесь спектр не только точечный.
Можно получить, что операторы $A$ и $B$ необходимо сюръективны. Это следует из соотношений $R(AB-BA) = X$ и $R(AB) - R(BA) \supset R(AB-BA)$, где под $R$ понимаю область значений. Можно также сказать кое-что о ядрах: $\ker A \cap \ker B = \{0\}$.
А больше ничего полезного получить мне не удается.

[kp9r4d]

Возьмите спектр от обеих частей $AB=1+BA$.