Момогите вычислить предел с помощью 2-го зам. предела

[rar]

$\lim\limits_{x\to 0} (cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

Подскажите методику решения.

[Cobert]

rar, а просто подставить предел в x не пробовали?

[Brukvalub]

Поищите в архивах - здесь я и не я раз 10, как минимум, разъясняли, как раскрывать такую неопределенность.

[rar]

Ну понятно, что при $x \to 0, cos x$ стремиться к $1$, а показатель степени стремиться к бесконечности. Но тогда получается что предел равен $e$. Но в ответе написано что предел равен $e^{-\frac{1}{2}}$.

[TOTAL]

rar писал(а):

Ну понятно, что при $x \to 0, cos x$ стремиться к $1$, а показатель степени стремиться к бесконечности. Но тогда получается что предел равен $e$. Но в ответе написано что предел равен $e^{\frac{1}{2}}$.

Подгоняйте под ответ. Что надо для этого сделать?

[rar]

Да мне нужен метод решения подобных пределов.

Brukvalub, не знаю где у вас тут архивы.

Может все-таки поможете с решением...

[bot]

Внимательно посмотрите на тождество:

$(1+\alpha)^\beta=(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha} \cdot \alpha\beta$

[Brukvalub]

rar писал(а):

Brukvalub, не знаю где у вас тут архивы.

Архивы - это совокупность всех сообщений в том же разделе, в котором Вы разместили свой вопрос.

[Профессор Снэйп]

$$ (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\frac{\ln \cos x}{x^2}} $$

Вот и показывайте, что

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $$

[rar]

$\lim\limits_{x\to 0}(cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0}[(1+cos x-1)^{\frac{1}{cos x-1}}]^{\frac{cos x-1}{x^2}}$

1) $\lim\limits_{\eta=(cos x-1)\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$

2) $e^{\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}}=$?

То есть, осталось вычислить предел $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}$, который я не знаю как вычислить.

И правильно ли я все делаю?

[bot]

Следуя Вашему совету, он сейчас лопиталить начнёт, а у него задание - свести вычисление предела ко второму замечательному пределу, а не к его эквиваленту.

Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд:

Хорошо, теперь посмотрите к какому замечательному пределу сводится 2)

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

rar писал(а):

И правильно ли я все делаю?

Чуть позже разберёмся почему можно переходить одновременно к пределу и в основании и в показателе, если не возникает при этом неопределённости.

[Профессор Снэйп]

rar писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0}(cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0}[(1+cos x-1)^{\frac{1}{cos x-1}}]^{\frac{cos x-1}{x^2}}$

1) $\lim\limits_{\eta=(cos x-1)\to 0}(1+\eta)^{\frac{1}{\eta}}=e$

2) $e^{\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}}=$?

То есть, осталось вычислить предел $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}$, который я не знаю как вычислить.

И правильно ли я все делаю?

Всё верно, только лучше взять $\eta = 1 - \cos x$, а не $\eta = \cos x - 1$. Всё-таки $\cos x \leqslant 1$, а Вам надо, чтобы $\eta$ было положительным.

Что касается предела

$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{cos x-1}{x^2}$$

то советую применить формулу косинуса двойного угла и первый замечательный предел.

[bot]

Заодно и ошибка в ответе обнаружится.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Заодно и ошибка в ответе обнаружится.

Ошибка в ответе, да, несомненно есть. Всё-таки $\cos x \leqslant 1$ при любом $x$ и

$$ (\cos x)^\frac{1}{x^2} \leqslant 1, $$

а $e^\frac{1}{2} = \sqrt{e} > 1$.

[Cobert]

Цитата:

лопиталить начнёт

Какой ужас