Компактность множества решений системы

[1r0pb]

Пусть дано такое: $\dot{x}=Ax+Bu,\ |u|\leq 1,\ x(0)=0,\ t\in[0,T]$.
С предкомпактностью(относительной компактностью) мне понятно, а как быть с компактностью?
Еще и путаница с терминологией возникает...
С чего начинать: с записи решения в интегральном виде или совсем иначе?
Спасибо.

[demolishka]

Уточните: в каком пространстве, с какой топологией и что такое $u.$

[1r0pb]

demolishka,
$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;
$|{u}^{i}|\leq 1,\ i=1,...,m$ - $m$-мерный куб;
$A$ и $B$ зависят от времени.

[dsge]

1r0pb в сообщении #1111179 писал(а):

С чего начинать: с записи решения в интегральном виде

В виде формулы Коши.

1r0pb в сообщении #1111284 писал(а):

$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;

Он ещё ограниченную производную имеет в каждой точке.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111387 писал(а):

1r0pb в сообщении #1111179 писал(а):

С чего начинать: с записи решения в интегральном виде

В виде формулы Коши.

dsge,
$x(t)=F(t)\int_{0}^{t}{F(s)}^{-1}B(s)u(s)ds $, если брать во внимание начальные условия, где $F(\cdot )$ - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы.

Цитата:

1r0pb в сообщении #1111284 писал(а):

$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;

Он ещё ограниченную производную имеет в каждой точке.

Ну допустим. А с какой целью это нужно знать?

[dsge]

Рассмотрите оператор в функциональном пространстве $x( t )= \Phi(u( t ))$.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111406 писал(а):

Рассмотрите оператор в функциональном пространстве $x( t )= \Phi(u( t ))$.

dsge, если так
$\Phi u=\int_{0}^{t}K(t,s)u(s)ds,\ K(t,s)=F(t){F}^{-1}(s)B(s),$
то что с этим делать?

[dsge]

1r0pb в сообщении #1111426 писал(а):

то что с этим делать?

1. Определить естественное пространство, где будут находиться множества решений системы.
2. Разобраться какие множества являются компактными в этом пространстве.
3. Разобраться в определении компактного оператора.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111432 писал(а):

1r0pb в сообщении #1111426 писал(а):

то что с этим делать?

1. Определить естественное пространство, где будут находиться множества решений системы.
2. Разобраться какие множества являются компактными в этом пространстве.
3. Разобраться в определении компактного оператора.

1. Пространство $C[0,T]$;
2. Относительная компактность следует из т.Арцела, а про компактность даже не знаю что сказать;
3. Из вполне непрерывности оператора следует его компактность.
dsge, спасибо за предыдущие ответы.

[dsge]

Осталось показать, что оператор $ \Phi $ является компактным.

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111501 писал(а):

Осталось показать, что оператор $ \Phi $ является компактным.

dsge, т.е. показать вполне непрерывность? А если так, то зачем был второй вопрос и каков же на него ответ все-таки?

[dsge]

А как иначе вы докажете его вполне непрерывность?

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111504 писал(а):

А как иначе вы докажете его вполне непрерывность?

Ну хорошо. А где грань между относительной компактностью и просто компактностью?
dsge, можно потом задать еще пару-тройку вопросов?

[dsge]

ОК

[1r0pb]

dsge в сообщении #1111510 писал(а):

ОК

dsge, а можно сначала с этим вопросом разобраться
"А где грань между относительной компактностью и просто компактностью?"
P.S. Смотришь одну книгу - пишут про компактность, открываешь вторую - подразумевают в этом же контексте относительную компактность...