Поведение функций. Примеры

[SeledkaShuba11]

Недавно обнаружил у себя проблемы с неумением определять поведение функций. Знаю, это дело плевое, да и в принципе мало зачем нужно, но тем не менее...
Теоретический материал везде один и тот же и в малом количестве, поэтому нужно больше практики, в связи с чем я прошу вас покидать сюда какие-нибудь отображения. Спасибо!

[Aritaborian]

Вопрос несколько размазан, но если я хоть сколько-нибудь правильно понимаю, о чём речь, то вот вам три очень простые задачи.

1) является функция $f(x)=x^5-5x^3+4x$ чётной, нечётной либо ни той ни иной?
2) является ли функция $f(x)=\sin(x+\frac\pi4)+\frac13\cos(2x)$ периодической и если да, то каков её период?
3) имеет ли график функции $f(x)=3x+\frac{1}{2x-1}+1$
а) горизонтальные асимптоты?
б) вертикальные асимптоты?
в) наклонные асимптоты?
Если имеет, напишите их уравнения.

Все ответы приведите с доказательством.

[Anton_Peplov]

Давайте конкретнее. Вас какие функции интересуют? Непрерывные? Дифференцируемые? Аналитические? А то, знаете, для исследования "функций вообще" никаких методов не придумано.
P.S. Много шокирующих функций (например, непрерывную функцию, не монотонную ни на каком интервале) можно найти в замечательной книжке
Гелбаум, Олмстед. Конрпримеры в анализе.

[arseniiv]

Aritaborian
Подумал, могли иметься ещё бесконечная малость/великость (включая в сравнении с чем-нибудь) и вообще асимптотическое поведение.

[Aritaborian]

Уж по крайней мере для приведённых мною функций методы есть ;-) Anton_Peplov, не стоит стразу набрасываться на человека с формулами типа $f(x)=\sum \limits _{n=1}^k \frac{\sin \left(n^2 x\right)}{n^2}$ ;-)

-- 31.03.2016, 01:20 --

arseniiv, много чего ещё можно иметь; я просто сходу придумал три простых упражнения. Стоило бы, конечно, посмотреть предыдущие сообщения ТС (он там, к примеру, на какой-то страшный интеграл набрасывается), чтобы понять что тот не школьник, но мало ли у кого в какой области пробелы. И потом, каков вопрос, таков ответ.

[Anton_Peplov]

Aritaborian, человек только пришел, поэтому я не знаю, кто он, и по его сообщению это не очень понятно. Вы предположили, что он школьник, ну а я всегда предполагаю высокую квалификацию, пока не доказано обратное. Очень хорошо, что в сумме мы предложили оба уровня беседы на выбор. Дальше слово за ТС.

[SeledkaShuba11]

Ой, я имел в виду проверку на сюръективность, инъективность или ни на то, ни на другое. Например, отображение $f: \mathbb{R} \to [-1;1], f(x)= \sin x$ сюръективно.

[Anton_Peplov]

А давайте перевернем задачу, так веселее.
Постройте непрерывную сюръекцию $[0, \infty) \to \mathbb{R}$.

[Ellan Vannin]

SeledkaShuba11 в сообщении #1110830 писал(а):

отображение $f: \mathbb{R} \to [-1;1], f(x)= \sin x$ сюръективно.

Как вы это определили? А почему неинъективно?

SeledkaShuba11 в сообщении #1110697 писал(а):

нужно больше практики, в связи с чем я прошу вас покидать сюда какие-нибудь отображения.

Почему бы и нет, давайте порешаем. Проверьте, является ли инъективным, сюръективным отображение:
* $f: \varnothing \to \varnothing$ ?
* $g: \varnothing \to A$, $A \neq \varnothing$ ?
* логическое отрицание на булевом множестве $\mathbb {B}=\{0,1 \}$ ?
* дизъюнкция из $\mathbb {B} \times \mathbb {B}$ в $\mathbb {B}$ ?
* взятие числа по модулю на $\mathbb {Z}$ ? из множества $\mathbb {Z}$ в множество натуральных чисел $\mathbb {N}_0=\{0,1, \ldots \}$ ?
* прибавление единицы на множестве натуральных чисел ?
* взятие целой части от половины числа на множестве натуральных чисел, то есть функция
$h: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0, h(x)= \lfloor \frac {x}{2} \rfloor $
* операция пересечения двух множеств, действующая из $\mathcal P(X) \times \mathcal P(X)$ в $\mathcal P(X )$, где $\mathcal P(X )$ — булеан непустого множества $X$ ?
Ну и достаточно для первого раза. Все ответы старайтесь обосновывать.

[mihailm]

(Оффтоп)

SeledkaShuba11 в сообщении #1110697 писал(а):

...обнаружил у себя проблемы с неумением...

Наверно все-таки с умением?

-- Чт мар 31, 2016 23:17:26 --

$g: A \to \varnothing$, $A \neq \varnothing$?
И на всякий случай ответьте: чему равен $\int \frac{1}{dx} $?