Фундаментальная группа окружности

[ellipse]

Пытаюсь сам доказать, что фундаментальная группа окружности равна $\Bbb Z$. Хотя, честно говоря, пока и не нашел книгу, где понятного и подробного доказывается.

Идея такая.

Рассматриваем окружность как фактортопологическое пр-во $S=\Bbb R / \Bbb Z$. Пусть $\varphi : \Bbb R \to \Bbb R / \Bbb Z$ — каноническое отображение.

Пытаюсь доказать, что всякое непрерывное отображение $f:[0,1]\to \Bbb R / \Bbb Z$ может быть получено как композиция непрерывного отображения $h:[0,1] \to \Bbb R$ и $\varphi$, то есть $f=\varphi \circ h$ . А также, что гомотопным путям $h_1,\ h_2$ соответствуют гомотопные пути $f_1,\ f_2$

Если это предположение верно, тогда всякая петля на окружности определяется некоторым отображением $h:[0,1] \to \Bbb R$ таким, что $h(0)=1,\ h(1)=k$, где $k \in \Bbb Z$. И тогда можно доказывать, что пути гомотопны тогда и только тогда, когда совпадает $k$.

Также проблема, как доказать, что фактортопология $S=\Bbb R/ \Bbb Z$ совпадает с топологией на окружности, индуцированной топологией плоскости $\Bbb R^2$.

[Aritaborian]

Неделю назад было.

[ellipse]

Aritaborian в сообщении #1110937 писал(а):

Неделю назад было.

Читал эту тему. Там лишь опровергается соображение автора о том, что эта группа тривиальная. Из того, что там написано, я не понял, как доказывать, что группа равна именно $\Bbb Z$.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #1110936 писал(а):

честно говоря, пока и не нашел книгу, где понятного и подробного доказывается.

о-го-го! Алгебраическая топология, Хатчер А., 2011 -глава 1 параграф 1 стр. 43, Масси Столлингс Алгебраическая топология, введение глава 2 п.5, Чес Коснёвски начальный курс алгебраической топологии глава 16 - всюду все подробно и понятно.