При попытке построить два различных набора из 6 чисел, дающих одинаковый набор сумм, кажется, натолкнулся на противоречие. Пусть

и

— разные наборы, дающие один набор сумм

. Как и в предыдущем сообщении, я всё сортирую по возрастанию, а сумму

обозначаю через

. Из незыблемости соотношений

,

,

,

следует вот что:
1) Если

, то

,

. Если затем положить

, то это приведёт к изменению суммы

, являющейся инвариантом. Равенство же

влечёт совпадение всего набора. Значит,

.
2) Пусть

. Тогда

,

. Опять же из инвариантности

с неизбежностью следует:

,

,

.
3) Из предыдущего пункта видно, что в наборе остаются неизменными следующие суммы:

,

,

,

,

,

,

,

,

. Меняются же:

,

,

,

,

,

.
Эти 6 сумм нужно сопоставить между собой, в том смысле, что каждая сумма в левой части,
если убрать штрихи, равна какой-то другой сумме в правой части.
4) Снова вспоминаем про упорядочение по возрастанию. Получается, что

равно одной из сумм:

, либо

. Отсюда следует, что либо первая, либо вторая сумма из шести выписанных равна

. Что даёт нам либо

, либо

, но оба равенства эквивалентны, а значит оба и верны. Аналогично:

, а значит, 3-я сумма сопоставляется с 4-й:

.
5) Выписываем рядом три получившихся равенства и, вычитая одно из другого, получаем:

. Вспоминая о возрастании, заключаем, что
(тут была ошибка, исправил) 
,

. Аналогично,

. Но тогда изменённый набор не будет отсортирован по возрастанию. Противоречие.
Выходит, набор из

чисел восстанавливается однозначно.
-- Ср мар 09, 2016 14:25:23 --Неточность в терминологии: где я пишу о "возрастании", имеется в виду "неубывание". Но исправлять не стал, т.к. как-то тяжеловесно звучит.